Exercício 2. Escreva os quatro primeiros elementos das sequências e determine se elas são convergentes ou divergentes. Caso seja convergente, ache o seu limite.
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) escrever os quatro primeiros termos da sequência e (2) decidir se a sequência é convergente ou divergente; se convergente, achar o seu limite. A sequência dada é
e vou considerar que
toma valores inteiros positivos (ou seja,
, começando em
), pois em
o denominador fica
e a expressão não estaria definida. As informações relevantes: a fórmula explícita de
e o pedido explícito dos quatro primeiros termos e do comportamento quando
.
Passo 2
Calcular
. Substituímos
na fórmula e fazemos as contas passo a passo:
Expliquei cada operação: primeiro calculei os quadrados, depois multipliquei pelos coeficientes e somei/subtrai.
Passo 3
Calcular
. Substituímos
:
Novamente calculei
, depois multipliquei e somei/subtrai.
Passo 4
Calcular
. Substituímos
:
Passo 5
Calcular
. Substituímos
:
Aqui simplifiquei
dividindo numerador e denominador por
.
Passo 6
Agora vamos estudar a convergência quando
. Intuição: para
grande, os termos de maior grau nos polinômios dominam o comportamento. Para tornar isso formal, divido numerador e denominador por
(o maior grau presente):
Expliquei cada passo: fatoro
(que é o maior expoente presente) de cima e de baixo; isso é uma técnica padrão para estudar limites de frações de polinômios.
Passo 7
Usar propriedades de limite. Sabemos as duas propriedades simples e úteis:
-
. -
.
Também usamos que o limite da razão é a razão dos limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero. Aplicando essas propriedades à expressão obtida em bloco:
Portanto o limite existe e é
.
Passo 8
Interpretação e checagem rápida com os primeiros termos: os quatro primeiros termos foram
,
,
,
. Esses valores estão se aproximando de
(que é
), o que confirma a conclusão do passo anterior. Conclusão final: a sequência é convergente e seu limite é
.