Exercício 2. Escreva os quatro primeiros elementos das sequências e determine se elas são convergentes ou divergentes. Caso seja convergente, ache o seu limite.
\left(\frac{2 n^{2}+1}{3 n^{2}-n}\right)_{n \in \mathbb{R}};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) escrever os quatro primeiros termos da sequência e (2) decidir se a sequência é convergente ou divergente; se convergente, achar o seu limite. A sequência dada é
a_n=\frac{2 n^{2}+1}{3 n^{2}-n},
e vou considerar que n toma valores inteiros positivos (ou seja, n\in\mathbb{N}, começando em 1), pois em n=0 o denominador fica 0 e a expressão não estaria definida. As informações relevantes: a fórmula explícita de a_n e o pedido explícito dos quatro primeiros termos e do comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Calcular a_1. Substituímos n=1 na fórmula e fazemos as contas passo a passo:
a_1=\frac{2\cdot 1^{2}+1}{3\cdot 1^{2}-1}=\frac{2+1}{3-1}=\frac{3}{2}.
Expliquei cada operação: primeiro calculei os quadrados, depois multipliquei pelos coeficientes e somei/subtrai.

Passo 3

Calcular a_2. Substituímos n=2:
a_2=\frac{2\cdot 2^{2}+1}{3\cdot 2^{2}-2}=\frac{2\cdot 4+1}{3\cdot 4-2}=\frac{8+1}{12-2}=\frac{9}{10}.
Novamente calculei 2^{2}=4, depois multipliquei e somei/subtrai.

Passo 4

Calcular a_3. Substituímos n=3:
a_3=\frac{2\cdot 3^{2}+1}{3\cdot 3^{2}-3}=\frac{2\cdot 9+1}{3\cdot 9-3}=\frac{18+1}{27-3}=\frac{19}{24}.

Passo 5

Calcular a_4. Substituímos n=4:
a_4=\frac{2\cdot 4^{2}+1}{3\cdot 4^{2}-4}=\frac{2\cdot 16+1}{3\cdot 16-4}=\frac{32+1}{48-4}=\frac{33}{44}=\frac{3}{4}.
Aqui simplifiquei \frac{33}{44} dividindo numerador e denominador por 11.

Passo 6

Agora vamos estudar a convergência quando n\to\infty. Intuição: para n grande, os termos de maior grau nos polinômios dominam o comportamento. Para tornar isso formal, divido numerador e denominador por n^{2} (o maior grau presente):
a_n=\frac{2 n^{2}+1}{3 n^{2}-n} =\frac{n^{2}\left(2+\dfrac{1}{n^{2}}\right)}{n^{2}\left(3-\dfrac{1}{n}\right)} =\frac{2+\dfrac{1}{n^{2}}}{3-\dfrac{1}{n}}.
Expliquei cada passo: fatoro n^{2} (que é o maior expoente presente) de cima e de baixo; isso é uma técnica padrão para estudar limites de frações de polinômios.

Passo 7

Usar propriedades de limite. Sabemos as duas propriedades simples e úteis:
  1. \displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0.
  2. \displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=0.
    Também usamos que o limite da razão é a razão dos limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero. Aplicando essas propriedades à expressão obtida em bloco:
\lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{2+\dfrac{1}{n^{2}}}{3-\dfrac{1}{n}} =\frac{2+0}{3-0}=\frac{2}{3}.
Portanto o limite existe e é \dfrac{2}{3}.

Passo 8

Interpretação e checagem rápida com os primeiros termos: os quatro primeiros termos foram \dfrac{3}{2}=1{,}5, \dfrac{9}{10}=0{,}9, \dfrac{19}{24}\approx0{,}7917, \dfrac{3}{4}=0{,}75. Esses valores estão se aproximando de 0{,}666\ldots (que é \dfrac{2}{3}), o que confirma a conclusão do passo anterior. Conclusão final: a sequência é convergente e seu limite é \dfrac{2}{3}.

Resposta

a_1=\dfrac{3}{2},\quad a_2=\dfrac{9}{10},\quad a_3=\dfrac{19}{24},\quad a_4=\dfrac{3}{4}\nConvergente, limite \dfrac{2}{3}

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