Explicação rápida (justificativa): integrar por partes deriva a exponencial e o termo de borda f(x)e^{-i\omega x}\big|_{-\infty}^{\infty} desaparece porque f tende a zero rapidamente (aqui f é gaussian e decai muito rápido).
Transformada do produto por x: se x f(x) é integrável, então
\widehat{x f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx = i\,\frac{d}{d\omega}\widehat{f}(\omega).
Explicação rápida (derivando sob o sinal de integral): \dfrac{d}{d\omega}\widehat{f}(\omega)=\int f(x)\,\dfrac{d}{d\omega}(e^{-i\omega x})\,dx = \int f(x)(-i x)e^{-i\omega x}\,dx = -i\,\widehat{x f}(\omega), daí a fórmula.
Vou usar essas duas propriedades na sequência.
Passo 3
Escrever a relação entre f e sua derivada e tomar transformada.
Comentário rápido: a transformada da gaussiana e^{-x^{2}/2} é outra gaussiana e^{-\omega^{2}/2} multiplicada pela constante \sqrt{2\pi} na nossa convenção de transformada. É bem bonito e útil: gaussianas transformam em gaussianas.