Usando a Transformada de Fourier da derivada, determine a transformada de f(x)=e^{-x^{2} / 2}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Dado: a função f(x)=e^{-x^{2}/2}.
  • Pedido: determinar a transformada de Fourier de f usando a propriedade da transformada da derivada.
Informações relevantes que vêm do enunciado:
  • A função explícita f(x)=e^{-x^{2}/2}.
  • A instrução explícita para explorar a propriedade da transformada da derivada (logo, vamos tomar Fourier de uma equação envolvendo f').

Passo 2

Escolher e explicar a convenção de transformada de Fourier e as propriedades que vamos usar.
Vou usar a convenção padrão (muito comum em cursos de exatas):
\widehat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx.
Nesta convenção, duas propriedades fundamentais que vamos usar são:
  1. Transformada da derivada: se f é diferenciável e f(x)\to 0 quando |x|\to\infty, então
\widehat{f'}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\,e^{-i\omega x}\,dx = i\omega\,\widehat{f}(\omega).
Explicação rápida (justificativa): integrar por partes deriva a exponencial e o termo de borda f(x)e^{-i\omega x}\big|_{-\infty}^{\infty} desaparece porque f tende a zero rapidamente (aqui f é gaussian e decai muito rápido).
  1. Transformada do produto por x: se x f(x) é integrável, então
\widehat{x f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx = i\,\frac{d}{d\omega}\widehat{f}(\omega).
Explicação rápida (derivando sob o sinal de integral): \dfrac{d}{d\omega}\widehat{f}(\omega)=\int f(x)\,\dfrac{d}{d\omega}(e^{-i\omega x})\,dx = \int f(x)(-i x)e^{-i\omega x}\,dx = -i\,\widehat{x f}(\omega), daí a fórmula.
Vou usar essas duas propriedades na sequência.

Passo 3

Escrever a relação entre f e sua derivada e tomar transformada.
Calculemos a derivada de f(x)=e^{-x^{2}/2}:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{-x^{2}/2}\big) = -x\,e^{-x^{2}/2} = -x\,f(x).
Agora tomamos a transformada de Fourier em ambos os lados da igualdade f'(x)=-x f(x). Pelo item 1) e 2) do passo anterior:
\widehat{f'}(\omega) = i\omega\,\widehat{f}(\omega), \qquad \widehat{-x f}(\omega) = -\,i\,\frac{d}{d\omega}\widehat{f}(\omega).
Logo, aplicando a transformada:
i\omega\,\widehat{f}(\omega) = -\,i\,\frac{d}{d\omega}\widehat{f}(\omega).

Passo 4

Simplificar a equação obtida e resolver a equação diferencial para \widehat{f}(\omega).
A igualdade do passo anterior é
i\omega\,\widehat{f}(\omega) = -\,i\,\frac{d}{d\omega}\widehat{f}(\omega).
Como i\neq 0, podemos dividir por i para obter:
\omega\,\widehat{f}(\omega) = -\frac{d}{d\omega}\widehat{f}(\omega).
Reescrevendo:
\frac{d}{d\omega}\widehat{f}(\omega) + \omega\,\widehat{f}(\omega)=0.
Isto é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem (na verdade separável). Resolvendo-a:
Separando variáveis,
\frac{d\widehat{f}}{\widehat{f}} = -\omega\,d\omega.
Integrando ambos os lados:
\ln\widehat{f}(\omega) = -\frac{\omega^{2}}{2} + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
\widehat{f}(\omega) = A\,e^{-\omega^{2}/2},
com A=e^{C} uma constante (real positiva, pois \widehat{f} será real e positiva em \omega=0 neste caso).

Passo 5

Determinar a constante A avaliando \widehat{f} em \omega=0 e calculando a integral correspondente (integração da gaussiana).
Pela definição da transformada,
\widehat{f}(0)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}/2}\,dx.
Portanto A=\widehat{f}(0)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}/2}\,dx. Agora calculamos essa integral clássica usando o truque de quadrado:
Defina I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}/2}\,dx. Então
I^{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}/2}\,dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}/2}\,dy\right) =\int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-(x^{2}+y^{2})/2}\,dx\,dy.
Passe para coordenadas polares (r,\theta), onde x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Assim
I^{2}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/2}\,r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/2}\,r\,dr.
Façamos a substituição u=r^{2}/2, então du=r\,dr e quando r vai de 0 a \infty, u vai de 0 a \infty. Portanto
I^{2}=2\pi\int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du = 2\pi \cdot 1 = 2\pi.
Daí I=\sqrt{2\pi} (escolhemos o sinal positivo porque a integral de uma função positiva é positiva). Logo
A=\widehat{f}(0)=\sqrt{2\pi}.

Passo 6

Escrever a transformada final com a constante encontrada e comentar rapidamente o resultado para te dar confiança.
Substituindo A=\sqrt{2\pi} na forma geral do passo 4, obtemos
\widehat{f}(\omega)=\sqrt{2\pi}\,e^{-\omega^{2}/2}.
Comentário rápido: a transformada da gaussiana e^{-x^{2}/2} é outra gaussiana e^{-\omega^{2}/2} multiplicada pela constante \sqrt{2\pi} na nossa convenção de transformada. É bem bonito e útil: gaussianas transformam em gaussianas.

Resposta

\widehat{f}(\omega)=\sqrt{2\pi}\,e^{-\omega^{2}/2}

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