Mostrar que os limites seguintes não existem:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe. Informação dada: a função a analisar é
definida em todos os pontos com
. O objetivo é provar que, quando
se aproxima de
, a função não tende a um único valor.
Passo 2
O que significa “limite não existe” em duas variáveis (intuição prática que vamos usar).
- Para existir
, o valor de ao aproximar de deve ficar arbitrariamente próximo de independentemente da direção/curva usada para aproximar. - Uma forma prática para provar que o limite NÃO existe é encontrar duas trajetórias (duas formas de aproximar
) que produzem limites diferentes. Se existem duas trajetórias com limites distintos, então não há um único que funcione para todas as aproximações, logo o limite não existe.
Essa técnica é válida: encontrar caminhos com limites diferentes prova a inexistência do limite.
Passo 3
Testando trajetórias triviais: eixo
e eixo
.
- Ao aproximar pelo eixo
fazemos . Substituindo em ,
Portanto, ao longo do eixo
temos
- Ao aproximar pelo eixo
fazemos . Substituindo,
Logo
Esses dois caminhos dão o mesmo valor
, mas isso não garante que o limite exista — apenas mostra que alguns caminhos dão
. Precisamos testar outros caminhos.
Passo 4
Teste por linhas passando pela origem:
com
fixo.
Substituindo em
(para
):
Substituindo
Como
(exceto no próprio ponto), simplificamos
:
Esse valor é constante ao longo da reta
(para qualquer
), portanto ao aproximar
por pontos da reta
o valor da função já é
. Assim
Passo 5
Concluir inexistência usando dois valores de
que geram limites diferentes.
- Para
(eixo ) obtemos . - Para
(reta ) obtemos .
Como, as aproximações por essas duas retas dão limites diferentes. Portanto não existe um único comum a todas as trajetórias, e assim
não existe.
Passo 6
Uma visão alternativa (e que reforça a ideia): usar coordenadas polares.
Escrevendo e
, com
e
para aproximar a origem:
Escrevendo
O resultado depende de
(direção de aproximação) e não de
. Por exemplo, para
(eixo
) obtemos
, para
(reta
) obtemos
. Como o valor limite depende do ângulo
, não existe limite único quando
.
Resposta
O limite não existe.