Mostrar que os limites seguintes não existem:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}
não existe. Informação dada: a função a analisar é
f(x,y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}
definida em todos os pontos com (x,y)\neq(0,0). O objetivo é provar que, quando (x,y) se aproxima de (0,0), a função não tende a um único valor.

Passo 2

O que significa “limite não existe” em duas variáveis (intuição prática que vamos usar).
  • Para existir \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L, o valor de f(x,y) ao aproximar (x,y) de (0,0) deve ficar arbitrariamente próximo de L independentemente da direção/curva usada para aproximar.
  • Uma forma prática para provar que o limite NÃO existe é encontrar duas trajetórias (duas formas de aproximar (0,0)) que produzem limites diferentes. Se existem duas trajetórias com limites distintos, então não há um único L que funcione para todas as aproximações, logo o limite não existe.
    Essa técnica é válida: encontrar caminhos com limites diferentes prova a inexistência do limite.

Passo 3

Testando trajetórias triviais: eixo x e eixo y.
  • Ao aproximar pelo eixo x fazemos y=0. Substituindo em f,
f(x,0)=\frac{x\cdot 0}{x^{2}+0^{2}}=0.
Portanto, ao longo do eixo x temos
\lim_{x\to 0} f(x,0)=0.
  • Ao aproximar pelo eixo y fazemos x=0. Substituindo,
f(0,y)=\frac{0\cdot y}{0^{2}+y^{2}}=0.
Logo
\lim_{y\to 0} f(0,y)=0.
Esses dois caminhos dão o mesmo valor 0, mas isso não garante que o limite exista — apenas mostra que alguns caminhos dão 0. Precisamos testar outros caminhos.

Passo 4

Teste por linhas passando pela origem: y=kx com k\in\mathbb{R} fixo.
Substituindo y=kx em f(x,y) (para x\neq 0):
f(x,kx)=\frac{x\cdot(kx)}{x^{2}+(kx)^{2}}=\frac{k x^{2}}{x^{2}\bigl(1+k^{2}\bigr)}.
Como x^{2}\neq 0 (exceto no próprio ponto), simplificamos x^{2}:
f(x,kx)=\frac{k}{1+k^{2}}.
Esse valor é constante ao longo da reta y=kx (para qualquer x\neq 0), portanto ao aproximar (0,0) por pontos da reta y=kx o valor da função já é \dfrac{k}{1+k^{2}}. Assim
\lim_{\substack{(x,y)\to(0,0)\\\ y=kx}} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{k}{1+k^{2}}.

Passo 5

Concluir inexistência usando dois valores de k que geram limites diferentes.
  • Para k=0 (eixo x) obtemos \dfrac{0}{1+0^{2}}=0.
  • Para k=1 (reta y=x) obtemos \dfrac{1}{1+1^{2}}=\dfrac{1}{2}.
    Como 0\neq\dfrac{1}{2}, as aproximações por essas duas retas dão limites diferentes. Portanto não existe um único L comum a todas as trajetórias, e assim
\lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}
não existe.

Passo 6

Uma visão alternativa (e que reforça a ideia): usar coordenadas polares.
Escrevendo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r>0 e r\to 0 para aproximar a origem:
\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{r^{2}}= \cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta).
O resultado depende de \theta (direção de aproximação) e não de r. Por exemplo, para \theta=0 (eixo x) obtemos 0, para \theta=\tfrac{\pi}{4} (reta y=x) obtemos \tfrac{1}{2}. Como o valor limite depende do ângulo \theta, não existe limite único quando r\to 0.

Resposta

O limite não existe.

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