Exercício 6. Escreva o sistema linear correspondente à seguinte matriz ampliada e resolvao.
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a seguinte matriz ampliada:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
O que é pedido:
  • Escrever o sistema linear correspondente a essa matriz ampliada.
  • Resolver o sistema (ou seja, encontrar os valores das incógnitas).
Informações relevantes extraídas da matriz:
  • A matriz tem 3 linhas e 4 colunas; as três primeiras colunas são os coeficientes das incógnitas e a última coluna é o termo independente (lado direito).
  • As incógnitas convencionais serão x_{1}, x_{2} e x_{3}.

Passo 2

Interpretando cada linha da matriz como uma equação (cada linha dá os coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3} e, por último, o termo independente), o sistema linear correspondente é:
\begin{cases} 1\cdot x_{1} + 2\cdot x_{2} - 1\cdot x_{3} = 3,\\[4pt] 0\cdot x_{1} + 1\cdot x_{2} + 2\cdot x_{3} = 4,\\[4pt] 0\cdot x_{1} + 0\cdot x_{2} + 1\cdot x_{3} = 1. \end{cases}
Posso escrever de forma mais limpa:
\begin{cases} x_{1} + 2x_{2} - x_{3} = 3,\\[4pt] x_{2} + 2x_{3} = 4,\\[4pt] x_{3} = 1. \end{cases}]

Passo 3

Explicação didática do método que vou usar (back-substitution):
  • A matriz está em forma triangular superior (cada linha tem mais zeros no começo conforme descemos), então o sistema também está em forma triangular: a última equação envolve apenas x_{3}, a penúltima envolve x_{2} e x_{3}, a primeira envolve x_{1},x_{2},x_{3}.
  • Back-substitution (substituição regressiva) é a técnica para sistemas assim: primeiro encontra-se a última variável diretamente da última equação; depois substitui-se esse valor na equação anterior para achar a variável anterior, e assim por diante até x_{1}.
  • Isso evita calcular matrizes inversas ou eliminação adicional; é rápido e seguro em prova quando a matriz já está triangular.

Passo 4

Começando pela última equação (a mais simples):
x_{3} = 1.
Explicação: a equação \;x_{3}=1\; já dá o valor de x_{3} sem precisar de conta extra.

Passo 5

Agora uso a segunda equação \;x_{2} + 2x_{3} = 4\; e substituo x_{3}=1:
x_{2} + 2\cdot(1) = 4.
Calculo passo a passo:
x_{2} + 2 = 4,
x_{2} = 4 - 2,
x_{2} = 2.

Passo 6

Finalmente uso a primeira equação \;x_{1} + 2x_{2} - x_{3} = 3\; e substituo x_{2}=2 e x_{3}=1:
x_{1} + 2\cdot(2) - 1 = 3.
Calculo detalhado:
x_{1} + 4 - 1 = 3,
x_{1} + 3 = 3,
x_{1} = 3 - 3,
x_{1} = 0.

Passo 7

Verificação rápida (substituir os valores obtidos nas equações originais):
  • Primeira equação: x_{1}+2x_{2}-x_{3}=0+2\cdot2-1=0+4-1=3 OK.
  • Segunda equação: x_{2}+2x_{3}=2+2\cdot1=2+2=4 OK.
  • Terceira equação: x_{3}=1 OK.

Resposta

x_{1}=0
x_{2}=2
x_{3}=1

Exercícios relacionados