Exercício 7:
Uma esfera condutora sólida de raio
é inserida em uma casca esférica não condutora e esfericamente neutra com raio externo igual a
e raio interno igual a
, e que é feita de um material com constante dielétrica
. Considere que o potencial no centro da esfera é
. Considere também que o campo elétrico na superfície externa da casca está direcionado para longe da superfície e tem uma magnitude de
.
a) Qual é a constante dielétrica
do dielétrico em função dos outros parâmetros dados no enunciado?
b) Qual é a carga total na esfera condutora sólida?
a) Qual é a constante dielétrica
b) Qual é a carga total na esfera condutora sólida?
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera condutora de raio
envolta por uma casca esférica dielétrica (constante
) de raio interno
e externo
. O potencial no centro da esfera vale
e o campo na superfície externa da casca (em
) tem magnitude
. Vamos usar:
- Lei de Gauss para determinar a carga livre
da esfera em função de . - Cálculo do potencial pelo integral de
em cada região para relacionar , e .
Passo 2
Aplicando a lei de Gauss numa superfície esférica de raio
, o fluxo de
satisfaz
Como o campo é radial e vale
em
, temos para
Passo 3
O potencial no centro em relação ao infinito é
Para
,
.
Para , no dielétrico, o deslocamento
satisfaz
e
, logo
Para
Substituindo,
Calculando os integrais,
Passo 4
Substituímos
em
.
Temos
Temos
Logo
Resposta
(a)
(b)
(b)