Exercício 7:

Uma esfera condutora sólida de raio R é inserida em uma casca esférica não condutora e esfericamente neutra com raio externo igual a 2 R e raio interno igual a R, e que é feita de um material com constante dielétrica \kappa. Considere que o potencial no centro da esfera é V. Considere também que o campo elétrico na superfície externa da casca está direcionado para longe da superfície e tem uma magnitude de E.
a) Qual é a constante dielétrica \kappa do dielétrico em função dos outros parâmetros dados no enunciado?
b) Qual é a carga total na esfera condutora sólida?

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera condutora de raio R envolta por uma casca esférica dielétrica (constante \kappa) de raio interno R e externo 2R. O potencial no centro da esfera vale V e o campo na superfície externa da casca (em r=2R) tem magnitude E. Vamos usar:
  1. Lei de Gauss para determinar a carga livre Q da esfera em função de E.
  2. Cálculo do potencial pelo integral de E(r) em cada região para relacionar Q, V e \kappa.

Passo 2

Aplicando a lei de Gauss numa superfície esférica de raio r>2R, o fluxo de \mathbf{E} satisfaz
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{livre}}}{\varepsilon_0}\,.
Como o campo é radial e vale E em r=2R, temos para r=2R
E\,(4\pi (2R)^2)=\frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad Q=E\cdot4\pi\varepsilon_0\,(2R)^2 =16\pi\varepsilon_0\,R^2E\,.

Passo 3

O potencial no centro em relação ao infinito é
V=\int_{\infty}^{0}E(r)\,dr =\int_{\infty}^{2R}\!E_{\rm fora}(r)\,dr +\int_{2R}^{R}\!E_{\rm diel}(r)\,dr +\int_{R}^{0}0\;dr.
Para r>2R, E_{\rm fora}(r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}.
Para R<r<2R, no dielétrico, o deslocamento \mathbf{D} satisfaz \!D_r=Q/(4\pi r^2) e E_{\rm diel}=D_r/(\kappa\varepsilon_0), logo
E_{\rm diel}(r) =\frac{Q}{4\pi\,\kappa\varepsilon_0\,r^2}.
Substituindo,
V =\int_{\infty}^{2R}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}dr +\int_{2R}^{R}\frac{Q}{4\pi\kappa\varepsilon_0\,r^2}dr.
Calculando os integrais,
V =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[\frac{1}{2R}\Bigr] +\frac{Q}{4\pi\kappa\varepsilon_0}\Bigl[\frac{1}{R}-\frac{1}{2R}\Bigr] =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\Bigl(\tfrac12+\tfrac1{2\kappa}\Bigr).

Passo 4

Substituímos Q=16\pi\varepsilon_0R^2E em \displaystyle V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\Bigl(\tfrac12+\tfrac1{2\kappa}\Bigr).
Temos
V =(16\pi\varepsilon_0R^2E)\frac{1}{4\pi\varepsilon_0R}\Bigl(\tfrac12+\tfrac1{2\kappa}\Bigr) =4RE\Bigl(\tfrac12+\tfrac1{2\kappa}\Bigr) =2RE\Bigl(1+\frac1\kappa\Bigr).
Logo
\frac{V}{2RE}=1+\frac1\kappa \quad\Longrightarrow\quad \frac1\kappa=\frac{V}{2RE}-1 \quad\Longrightarrow\quad \kappa=\frac{1}{\frac{V}{2RE}-1} =\frac{2RE}{V-2RE}.

Resposta

(a) \displaystyle \kappa=\frac{2RE}{V-2RE}.
(b) \displaystyle Q=16\pi\varepsilon_0\,R^2E.

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