Problema 5.1 Um capacitor esférico tem um raio interno de 5 cm e um raio externo de 6 cm . Com ar entre as esferas, o capacitor é conectado a uma bateria de 12 Ve pode carregar totalmente. Com a bateria ainda conectada, óleo ( k=2,2 ) é despejado, enchendo o volume entre as esferas. Calcule o trabalho adicional realizado pela bateria ao longo do processo de enchimento do capacitor com óleo.

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor esférico formado por duas cascas concêntricas de raios internos a=5\:\text{cm} e externos b=6\:\text{cm}, inicialmente com ar k=1 entre as cascas e conectado a uma bateria de V=12\:\text{V}. Em seguida, sem desligar a bateria, despeja-se óleo com constante dielétrica k=2{,}2 até preencher todo o espaço entre as esferas. A tarefa é calcular o trabalho extra que a bateria realiza durante esse processo. Para isso, vamos usar (1) a fórmula da capacitância de um capacitor esférico, (2) a relação da energia de um capacitor ligado a uma fonte de tensão constante e (3) o fato de que, com V constante, o trabalho da bateria é a variação da energia armazenada.

Passo 2

A capacitância inicial com dielétrico de permissividade \varepsilon_0 (ar) é
C_i \;=\;\frac{4\pi\,\varepsilon_0\,a\,b}{\,b - a\,}
Convertendo a=5\:\text{cm}=0{,}05\:\text{m} e b=6\:\text{cm}=0{,}06\:\text{m},
C_i = \frac{4\pi\,(8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m})\,(0{,}05)(0{,}06)}{0{,}06-0{,}05} \approx 3{,}34\times10^{-11}\:\mathrm{F}.

Passo 3

Quando o óleo de constante k=2{,}2 preenche totalmente a região, a nova capacitância é
C_f = k\,C_i = 2{,}2\,C_i.
Como a bateria mantém V constante, a energia armazenada varia de
U_i = \tfrac12\,C_i\,V^2 \quad\text{para}\quad U_f = \tfrac12\,C_f\,V^2.
O trabalho adicional da bateria é
W = U_f - U_i = \tfrac12\,(C_f - C_i)\,V^2 = \tfrac12\,(k-1)\,C_i\,V^2.

Passo 4

Substituindo k-1=1{,}2, C_i\approx3{,}34\times10^{-11}\:\mathrm{F} e V=12\:\mathrm{V},
W = \tfrac12\,(1{,}2)\,(3{,}34\times10^{-11})\,(12)^2 \approx 2{,}9\times10^{-9}\:\mathrm{J}.

Resposta

O trabalho adicional realizado pela bateria vale aproximadamente 2,9\times10^{-9}\:\mathrm{J}.

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