Exercício 6. Estabelecer a equação cartesiana do plano que contém as retas r1:lx=-1+2 t y=4 t z=3-6 t e r2:ly=2 x+1 z=-3 x-2.

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano que contém as retas
e
.
O conteúdo é geometria analítica 3D: para determinar um plano usamos um ponto do plano e um vetor normal, que obtemos a partir de dois vetores diretores não colineares nele.

Passo 2

Extraímos da reta r1 um ponto e um vetor diretor. Basta tomar t=0, obtendo o ponto
P=(-1,,0,,3),
e o coeficiente de t dá o vetor diretor
u=(2,,4,,-6)

Passo 3

Para r2 escrevemos em forma paramétrica: seja s=x, então
y=2s+1, z=-3s-2,
de modo que um ponto é, por exemplo, para s=0,
Q=(0,,1,,-2),
e o vetor diretor é
v=(1,,2,,-3)

Passo 4

Note que v=(1,2,-3) é paralelo a u=(2,4,-6), pois u=2v. Então precisamos de um segundo vetor não colinear com u: escolhemos o vetor que liga P a Q,
PQ=Q-P=(1,,1,,-5)

Passo 5

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial utimesPQ:
n = i & j & k 2 & 4 & -6 1 & 1 & -5 =(-14,,4,,-2)
Podemos simplificar dividindo por -2, obtendo
n=(7,,-2,,1)

Passo 6

A equação geral do plano com normal n=(7,-2,1) e que passa por P=(-1,0,3) é
7(x+1)-2(y-0)+1(z-3)=0,
ou seja
7x-2y+z+4=0

Resposta

A equação cartesiana do plano é
7x -2y + z +4 = 0

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