Exercício 5. Estima-se que, daqui a m meses, a população de uma cidade estará variando segundo uma taxa de 1+3 \sqrt{m} pessoas/mês. Se a população atual é de 5000 pessoas, qual será a população daqui a 9 meses?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. Dados extraídos do enunciado:
  • A variável m representa o tempo em meses a partir de agora.
  • A taxa de variação da população é \dfrac{dP}{dm}=1+3\sqrt{m} pessoas/ mês.
  • A população atual (quando m=0) é P(0)=5000 pessoas.
    O que o enunciado pede: calcular a população daqui a 9 meses, ou seja P(9).

Passo 2

Interpretação matemática e estratégia. A equação \dfrac{dP}{dm}=1+3\sqrt{m} diz que a derivada de P em relação a m é a função dada; para obter a população em um tempo futuro integra-se essa taxa ao longo do intervalo de tempo. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
P(9)=P(0)+\int_{0}^{9}\left(1+3\sqrt{m}\right)\,dm.
Vou usar essa fórmula para calcular P(9).

Passo 3

Separar a integral usando linearidade. A integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral:
\int_{0}^{9}\left(1+3\sqrt{m}\right)\,dm = \int_{0}^{9}1\,dm + 3\int_{0}^{9}m^{1/2}\,dm.

Passo 4

Calcular cada integral usando regras básicas. Regra do integrador (regra da potência): para k\neq-1,
\int m^{k}\,dm=\frac{m^{k+1}}{k+1}+C.
Aplicando:
\int_{0}^{9}1\,dm = \left.m\right|_{0}^{9}=9.
Para a segunda:
\int_{0}^{9}m^{1/2}\,dm=\left.\frac{m^{3/2}}{3/2}\right|_{0}^{9}=\left.\frac{2}{3}m^{3/2}\right|_{0}^{9}.
Multiplicando por 3 (constante que estava fora):
3\int_{0}^{9}m^{1/2}\,dm = 3\cdot\frac{2}{3}\left.m^{3/2}\right|_{0}^{9}=2\left.m^{3/2}\right|_{0}^{9}.

Passo 5

Avaliar m^{3/2} em m=9. Calculando:
9^{3/2}=(\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27.
Portanto
2\left.m^{3/2}\right|_{0}^{9}=2\cdot27-0=54.

Passo 6

Somar as contribuições e obter a população final. A variação total no período é
\int_{0}^{9}\left(1+3\sqrt{m}\right)\,dm = 9 + 54 = 63.
Assim
P(9)=P(0)+63 = 5000+63 = 5063.

Resposta

5063 pessoas

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