4a) Seja W=\left\{\left(\begin{array}{ll}x & y \\\ z & t\end{array}\right) \in M_{2} ; x-y-z=0\right\} um subespaço de M_{2}, sabendo que B= \left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\} e C=\left\{\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\} são bases de W,
a) Determine a matriz mudanças de base M_{B}^{C}.
b) Sabendo que as coordenadas do vetor u na base C é dada por u_{C}=\left(\begin{array}{c}2 \\\\ -3 \\\\ 1\end{array}\right) determine u_{B}.
Passo 1
O enunciado dá um subespaço W de M_{2} e informa duas bases B e C de W. Vou listar claramente o que nos foi dado e o que pedem:
O subespaço é W=\left\{\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & t\end{array}\right)\in M_{2} \mid x-y-z=0\right\}.
Pedidos:
a) Determinar a matriz de mudança de base M_{B}^{C}.b) Dado \;u_{C}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix}\; (coordenadas de u na base C), determinar u_{B} (coordenadas de u na base B).]
Passo 2
Convencionalmente (e aqui usarei esta convenção explicitamente) a matriz de mudança de base M_{B}^{C} é a matriz que converte coordenadas de B para coordenadas de C, isto é,
[v]_{C}=M_{B}^{C}\,[v]_{B}
para todo v\in W.
Uma forma prática de construir M_{B}^{C} é expressar cada vetor da base B como combinação linear dos vetores da base C. Se