4a) Seja W=\left\{\left(\begin{array}{ll}x & y \\\ z & t\end{array}\right) \in M_{2} ; x-y-z=0\right\} um subespaço de M_{2}, sabendo que B= \left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\} e C=\left\{\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\} são bases de W,
a) Determine a matriz mudanças de base M_{B}^{C}.
b) Sabendo que as coordenadas do vetor u na base C é dada por u_{C}=\left(\begin{array}{c}2 \\\\ -3 \\\\ 1\end{array}\right) determine u_{B}.

Passo 1

O enunciado dá um subespaço W de M_{2} e informa duas bases B e C de W. Vou listar claramente o que nos foi dado e o que pedem:
  • O subespaço é W=\left\{\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & t\end{array}\right)\in M_{2} \mid x-y-z=0\right\}.
  • A base B é
B=\left\{b_{1}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\; b_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\; b_{3}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\right\}.
  • A base C é
C=\left\{c_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\; c_{2}=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\; c_{3}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\right\}.
  • Pedidos:
    a) Determinar a matriz de mudança de base M_{B}^{C}.b) Dado \;u_{C}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix}\; (coordenadas de u na base C), determinar u_{B} (coordenadas de u na base B).]

Passo 2

Convencionalmente (e aqui usarei esta convenção explicitamente) a matriz de mudança de base M_{B}^{C} é a matriz que converte coordenadas de B para coordenadas de C, isto é,
[v]_{C}=M_{B}^{C}\,[v]_{B}
para todo v\in W.
Uma forma prática de construir M_{B}^{C} é expressar cada vetor da base B como combinação linear dos vetores da base C. Se
b_j = \alpha_{1j}\,c_1+\alpha_{2j}\,c_2+\alpha_{3j}\,c_3,
então a j-ésima coluna de M_{B}^{C} é \begin{pmatrix}\alpha_{1j}\\[4pt]\alpha_{2j}\\[4pt]\alpha_{3j}\end{pmatrix}. Vou usar essa ideia passo a passo.]

Passo 3

Calcular as coordenadas de [b_{1}) na base C.
Procuramos \;a_{1},a_{2},a_{3}\in\mathbb{R} tais que
b_{1}=a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3}.
Escrevendo a combinação linear em termos das entradas das matrizes, note que
a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3} = a_{1}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} + a_{2}\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} + a_{3}\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{1} & -a_{2}\\[4pt]a_{1}+a_{2} & a_{3}\end{pmatrix}.
Queremos que isso seja igual a b_{1}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}. Igualando entradas obtemos o sistema
\begin{cases} a_{1}=1,\\[4pt] -a_{2}=1,\\[4pt] a_{1}+a_{2}=0,\\[4pt] a_{3}=0. \end{cases}
Resolvendo: a_{1}=1\], de \(-a_{2}=1 segue a_{2}=-1, e a_{3}=0. (A terceira equação é apenas redundante e confirma a consistência: 1+(-1)=0.)
Logo as coordenadas de b_{1} na base C são
[b_{1}]_{C}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular as coordenadas de b_{2} e b_{3} na base C.
Para b_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} buscamos a_{1},a_{2},a_{3} com a mesma combinação. Usando a expressão já obtida,
\begin{pmatrix}a_{1} & -a_{2}\\[4pt]a_{1}+a_{2} & a_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Isto dá
a_{1}=1,\quad -a_{2}=0\Rightarrow a_{2}=0,\quad a_{3}=0,
portanto
[b_{2}]_{C}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para b_{3}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} é óbvio (ou pelo sistema) que a_{1}=0,a_{2}=0,a_{3}=1, então
[b_{3}]_{C}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Observação intuitiva: percebe-se que b_{2}=c_{1} e b_{3}=c_{3}, por isso suas coordenadas são as colunas padrão correspondentes.]

Passo 5

Montar a matriz M_{B}^{C} usando as colunas calculadas. As colunas são [b_{1}]_{C},[b_{2}]_{C},[b_{3}]_{C}, então
M_{B}^{C}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[6pt] -1 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Esta é a matriz que satisfaz [v]_{C}=M_{B}^{C}\,[v]_{B} para todo v\in W.]

Passo 6

Agora resolver a parte (b): dado [u]_{C}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix}, queremos [u]_{B}.
Usamos a relação [u]_{C}=M_{B}^{C}\,[u]_{B}. Para obter [u]_{B} basta inverter M_{B}^{C} e aplicar:
[u]_{B}=(M_{B}^{C})^{-1}\,[u]_{C}.
Vou calcular (M_{B}^{C})^{-1} de forma direta.]

Passo 7

Calcular (M_{B}^{C})^{-1} e multiplicar por [u]_{C}.
A matriz M_{B}^{C} tem estrutura em blocos (o terceiro componente é independente), escrita novamente:
M_{B}^{C}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt]-1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
O bloco 2\times2 superior esquerdo é A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}. O determinante de A é
\det(A)=1\cdot 0 - 1\cdot(-1)=1,
logo A é invertível e sua inversa é, pela fórmula da inversa de 2\times2,
A^{-1}=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Como o terceiro eixo está isolado, a inversa completa é
(M_{B}^{C})^{-1}=\begin{pmatrix}0 & -1 & 0\\[4pt]1 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando por [u]_{C}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix} obtemos
[u]_{B}=(M_{B}^{C})^{-1}\,[u]_{C} =\begin{pmatrix}0 & -1 & 0\\[4pt]1 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\cdot 2 + (-1)\cdot(-3) + 0\cdot 1\\[6pt] 1\cdot 2 + 1\cdot(-3) + 0\cdot 1\\[6pt] 0\cdot 2 + 0\cdot(-3) + 1\cdot 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Breve verificação (opcional mas útil para confiança): reconstruir u pelas coordenadas em C e em B e conferir que resultam na mesma matriz.
Pelas coordenadas em C:
u=2c_{1}-3c_{2}+1c_{3} = \begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
Pelas coordenadas em B:
u=3b_{1}-1b_{2}+1b_{3} =3\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} -1\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix} +1\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&3\\[4pt]-1&1\end{pmatrix},
que é o mesmo u. Isso confirma que [u]_{B}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix} está correto.]

Resposta

\displaystyle M_{B}^{C}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt]-1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\displaystyle u_{B}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}]

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