2^{\text {a }} ) Seja B=\{(1,0,-3,1),(3,0,-5,-1),(1,0,-1,-1)\} \subset \mathbb{R}^{4} e W o subespaço gerado por B.
a) Extraia dos elementos de B uma base para W.
b) Usando a base encontrada no item a, complete esta base para uma base do \mathbb{R}^{4};

Passo 1

O enunciado dá o conjunto B=\{(1,0,-3,1),(3,0,-5,-1),(1,0,-1,-1)\}\subset\mathbb{R}^{4} e define W=\mathrm{span}(B). As perguntas são:
  • (a) Extrair dos elementos de B uma base para W.
  • (b) Usando a base do item (a), completar essa base para uma base de \mathbb{R}^{4}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os vetores de B são
v_{1}=(1,0,-3,1),\qquad v_{2}=(3,0,-5,-1),\qquad v_{3}=(1,0,-1,-1).
  • Queremos primeiro identificar quais desses vetores são linearmente independentes e então escolher um subconjunto que gere W e seja independente (isto é, uma base de W).
  • Depois precisamos acrescentar vetores (tipicamente escolhidos entre os vetores canônicos) até termos 4 vetores linearmente independentes que formem uma base de \mathbb{R}^{4}.

Passo 2

Lembrando o que é necessário para decidir uma base:
  • Um conjunto de vetores é uma base de um subespaço se (i) gera o subespaço (cada vetor do subespaço é combinação linear deles) e (ii) é linearmente independente (a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial com todos coeficientes zero).
  • Para testar independência de vetores usamos a equação de combinação linear
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0,
e resolvemos para \alpha,\beta,\gamma. Se existir solução não-trivial (algum coeficiente não nulo) então os vetores são dependentes; se a única solução for \alpha=\beta=\gamma=0 então são independentes.
Vou aplicar esse teste aos vetores dados.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear componente a componente:
\alpha(1,0,-3,1)+\beta(3,0,-5,-1)+\gamma(1,0,-1,-1)=(0,0,0,0).
Isto dá o sistema (cada linha corresponde a uma coordenada):
\begin{cases} \alpha+3\beta+\gamma=0,\\[4pt] 0\alpha+0\beta+0\gamma=0,\\[4pt] -3\alpha-5\beta-\gamma=0,\\[4pt] \alpha-\beta-\gamma=0. \end{cases}
A segunda equação é trivial. Vamos resolver as outras três.]

Passo 4

Do sistema temos da primeira equação
\alpha = -3\beta - \gamma.
Substituindo na quarta equação \alpha-\beta-\gamma=0:
(-3\beta-\gamma)-\beta-\gamma=0 \quad\Rightarrow\quad -4\beta-2\gamma=0.
Dividindo por -2 obtemos
2\beta+\gamma=0 \quad\Rightarrow\quad \gamma=-2\beta.
Substituindo \gamma=-2\beta em \alpha=-3\beta-\gamma
\alpha=-3\beta-(-2\beta)=-\beta.
Portanto as soluções têm a forma
(\alpha,\beta,\gamma)=\beta(-1,1,-2),
ou seja existem soluções não-triviais (por exemplo \beta=1 \alpha=-1,\gamma=-2). Conclusão: os três vetores de B são linearmente dependentes.

Passo 5

Como são dependentes, podemos tentar expressar um deles em função dos outros para descobrir quais dois são suficientes para gerar W. Usando a relação encontrada, com \beta=1 temos
-1\cdot v_{1}+1\cdot v_{2}-2\cdot v_{3}=0.
Rearranjando,
v_{2}=v_{1}+2v_{3}.
Isso mostra que v_{2} é combinação linear de v_{1} e v_{3}. Portanto v_{1} e v_{3} geram W. Falta verificar que v_{1} e v_{3} são independentes (então formam uma base de W).

Passo 6

Testando independência de v_{1}\) e \(v_{3}\): considere \(a v_{1}+b v_{3}=0\). Escrevendo componentes: \[\begin{cases} a+b=0,\\[4pt] 0=0,\\[4pt] -3a-b=0,\\[4pt] a-b=0. \end{cases}
Da primeira obtemos b=-a\]. Substituindo na quarta equação \(a-b=0 a-(-a)=2a=0\Rightarrow a=0. Assim b=0. Logo a única solução é a trivial, isto é, v_{1} e v_{3} são linearmente independentes. Portanto
\{v_{1},v_{3}\}=\{(1,0,-3,1),(1,0,-1,-1)\}
é uma base de W.
Observação intuitiva: todos os vetores de B têm segunda coordenada igual a zero, então W está contido no subespaço \{(x,0,y,z)\} de dimensão no máximo 3; aqui vimos que \dim W=2.]

Passo 7

Agora completar a base para \mathbb{R}^{4}. Método: acrescentar vetores até termos 4 vetores linearmente independentes. Uma escolha natural é usar vetores da base canônica de \mathbb{R}^{4}:
e_{1}=(1,0,0,0),\quad e_{2}=(0,1,0,0),\quad e_{3}=(0,0,1,0),\quad e_{4}=(0,0,0,1).
Observação útil: v_{1} e v_{3} têm segunda coordenada zero, então e_{2}=(0,1,0,0) certamente não está no span (v_{1},v_{3}) e, portanto, é independente em relação a eles. Precisamos apenas de mais um vetor independente em relação a \{v_{1},v_{3},e_{2}\}. Vou escolher e_{4}=(0,0,0,1) e verificar independência dos quatro vetores \{v_{1},v_{3},e_{2},e_{4}\}.

Passo 8

Verificação direta de independência: suponha que existam escalares a,b,c,d\) tais que \[a v_{1}+b v_{3}+c e_{2}+d e_{4}=0.
Escrevendo coordenadas:
a(1,0,-3,1)+b(1,0,-1,-1)+c(0,1,0,0)+d(0,0,0,1)=(0,0,0,0).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a+b=0,\\[4pt] c=0,\\[4pt] -3a-b=0,\\[4pt] a-b+d=0. \end{cases}
Da primeira, b=-a\]. Substituindo na terceira: \(-3a-(-a)=-2a=0\Rightarrow a=0. Então b=0. Da segunda c=0. Da quarta d=0. Assim só existe a solução trivial, logo os quatro vetores são linearmente independentes e portanto formam uma base de \mathbb{R}^{4}.]

Resposta

a) Uma base de W é \{(1,0,-3,1),\,(1,0,-1,-1)\}.
b) Uma base de \mathbb{R}^{4} que contém a base de W é \{(1,0,-3,1),\,(1,0,-1,-1),\,(0,1,0,0),\,(0,0,0,1)\}.

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