Exercício 3. Estude a convergència das seguintes sequencias:
onde
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
definida por
onde
é uma constante (vou assumir que
). Precisamos decidir, para cada valor possível de
, se a sequência converge e, em caso afirmativo, para qual limite; ou se diverge (para
,
ou não tem limite). Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A fórmula geral é
. - O índice
vai para o infinito ( ). - O parâmetro
é fixo (ou seja, estudamos a sequência para cada possível ).
Observação importante: sea expressão tem problema para (divisão por zero). Portanto precisa ser tratado separadamente.
Passo 2
Ideia geral e método escolhido (passo-passo didático):
- Intuição: sequências com
no denominador misturam um crescimento polinomial em cima ( ) com um crescimento/exponencial no denominador ( ). Sabemos que, em geral, sequências exponenciais dominam polinômios: se , então cresce muito mais rápido que e esperamos que . Se , então e costuma divergir para em módulo. - Método rigoroso escolhido: trabalhar com a sequência em módulo
e usar o teste da razão entre termos consecutivos para entender se tende a zero (ou cresce). Esse método é prático e elementar (não precisa de cálculo avançado) e funciona bem aqui porque envolve um quociente simples entre e .
Vou agora calcular a razão e usar esse resultado para cada caso de.
Passo 3
Cálculo da razão entre termos consecutivos (explicando passo a passo):
Defina . Então
Defina
Agora calcule o limite dessa razão quando
:
Interpretação prática: se
(ou seja,
), então eventualmente cada termo é multiplicado por um fator próximo de algo menor que 1 — isso leva
a zero. Se
(ou seja,
), então a razão fica maior que 1 para
grande e
cresce geometricamente, indo para
. Se
(ou seja,
), a razão tende a 1 e precisamos tratar
e
separadamente.
Passo 4
Caso
(ou seja,
ou
): demonstração detalhada de que
.
Do passo anterior temos
. Como
, tem-se
. Escolha um número
tal que
. Como a razão converge para
, existe
tal que para todo
vale
. Assim, para
,
O lado direito é uma sequência geométrica em
com razão
, portanto tende a zero quando
. Logo
, isto é,
. Conclusão:
quando
. Observação de sinal: se
os termos alternam de sinal, mas como o módulo tende a zero o limite é
também.
Exemplo concreto para fixar a intuição: para
temos
e é claro (pela desigualdade acima) que isso tende a
.
Passo 5
Caso
(ou seja,
, excluindo
por ora): demonstração detalhada de que
(divergência em módulo).
Novamente do passo da razão temos
. Agora
. Então existe
e
tal que para todo
vale
. Isso implica que, a partir de
,
e o lado direito é uma sequência geométrica com razão maior que
, portanto tende a
quando
. Conclusão:
.
Quanto ao sinal de
:
- Se
, então e . - Se
, então alterna de sinal (positivo/negativo), mas , portanto a sequência não tem limite finito (os termos vão a em módulo com sinais alternados — não converge).
Exemplo: para
temos
que cresce muito rápido para
.
Passo 6
Casos particulares restantes e
:
- Se
: então . Logo (diverge). - Se
: então . Os módulos crescem para e os sinais alternam; portanto não existe limite finito (diverge, sem limite). - Se
: para temos e é indefinido. Assim a sequência não está bem definida para e não faz sentido falar em convergência; portanto rejeitamos como caso de sequência válida.
Resposta
Se
então
.\nSe
então
(diverge).\nSe
então
(diverge, sem limite).\nSe
e
então
(diverge).\nSe
e
então
e os sinais alternam (diverge, sem limite finito).\nSe
a sequência não está definida para
(diverge/indefinida).