Exercício 3. Estude a convergència das seguintes sequencias:
\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} onde a_{n}=\frac{n}{c^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência \left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} definida por
a_{n}=\frac{n}{c^{n}},
onde c é uma constante (vou assumir que c\in\mathbb{R}). Precisamos decidir, para cada valor possível de c, se a sequência converge e, em caso afirmativo, para qual limite; ou se diverge (para +\infty, -\infty ou não tem limite). Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A fórmula geral é \displaystyle a_{n}=\frac{n}{c^{n}}.
  • O índice n vai para o infinito ( n\to\infty).
  • O parâmetro c é fixo (ou seja, estudamos a sequência para cada possível c).
    Observação importante: se c=0 a expressão \frac{n}{c^{n}} tem problema para n\ge 1 (divisão por zero). Portanto c=0 precisa ser tratado separadamente.

Passo 2

Ideia geral e método escolhido (passo-passo didático):
  • Intuição: sequências com c^{n} no denominador misturam um crescimento polinomial em cima ( n) com um crescimento/exponencial no denominador ( c^{n}). Sabemos que, em geral, sequências exponenciais dominam polinômios: se |c|>1, então |c|^{n} cresce muito mais rápido que n e esperamos que a_n\to 0. Se |c|<1, então |c|^{n}\to 0 e \frac{n}{|c|^{n}} costuma divergir para +\infty em módulo.
  • Método rigoroso escolhido: trabalhar com a sequência em módulo b_n=|a_n|=\dfrac{n}{|c|^{n}} e usar o teste da razão entre termos consecutivos para entender se b_n tende a zero (ou cresce). Esse método é prático e elementar (não precisa de cálculo avançado) e funciona bem aqui porque envolve um quociente simples entre b_{n+1} e b_n.
    Vou agora calcular a razão e usar esse resultado para cada caso de c.

Passo 3

Cálculo da razão entre termos consecutivos (explicando passo a passo):
Defina b_n=|a_n|=\dfrac{n}{|c|^{n}}. Então
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\dfrac{n+1}{|c|^{\,n+1}}}{\dfrac{n}{|c|^{\,n}}} = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{|c|} = \left(1+\frac{1}{n}\right)\frac{1}{|c|}.
Agora calcule o limite dessa razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\frac{1}{|c|} = \frac{1}{|c|}.
Interpretação prática: se \dfrac{1}{|c|}<1 (ou seja, |c|>1), então eventualmente cada termo é multiplicado por um fator próximo de algo menor que 1 — isso leva b_n a zero. Se \dfrac{1}{|c|}>1 (ou seja, |c|<1), então a razão fica maior que 1 para n grande e b_n cresce geometricamente, indo para +\infty. Se \dfrac{1}{|c|}=1 (ou seja, |c|=1), a razão tende a 1 e precisamos tratar c=1 e c=-1 separadamente.

Passo 4

Caso |c|>1 (ou seja, c>1 ou c<-1): demonstração detalhada de que a_n\to 0.
Do passo anterior temos \lim_{n\to\infty}\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\dfrac{1}{|c|}. Como |c|>1, tem-se \dfrac{1}{|c|}<1. Escolha um número q tal que \dfrac{1}{|c|}<q<1. Como a razão converge para \dfrac{1}{|c|}, existe N tal que para todo n\ge N vale \dfrac{b_{n+1}}{b_n}\le q. Assim, para n\ge N,
b_{n}\le b_{N}\,q^{\,n-N}.
O lado direito é uma sequência geométrica em n com razão q\in(0,1), portanto tende a zero quando n\to\infty. Logo b_n\to 0, isto é, |a_n|\to 0. Conclusão: a_n\to 0 quando |c|>1. Observação de sinal: se c<0 os termos alternam de sinal, mas como o módulo tende a zero o limite é 0 também.
Exemplo concreto para fixar a intuição: para c=2 temos a_n=\dfrac{n}{2^n} e é claro (pela desigualdade acima) que isso tende a 0.

Passo 5

Caso |c|<1 (ou seja, -1<c<1, excluindo c=0 por ora): demonstração detalhada de que |a_n|\to +\infty (divergência em módulo).
Novamente do passo da razão temos \lim_{n\to\infty}\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\dfrac{1}{|c|}. Agora \dfrac{1}{|c|}>1. Então existe \delta>0 e N tal que para todo n\ge N vale \dfrac{b_{n+1}}{b_n}\ge 1+\delta. Isso implica que, a partir de N,
b_{n}\ge b_{N}(1+\delta)^{\,n-N},
e o lado direito é uma sequência geométrica com razão maior que 1, portanto tende a +\infty quando n\to\infty. Conclusão: |a_n|\to +\infty.
Quanto ao sinal de a_n:
  • Se 0< c <1, então c^{n}>0 e a_n=\dfrac{n}{c^n}\to +\infty.
  • Se -1<c<0, então c^{n} alterna de sinal (positivo/negativo), mas |a_n|\to +\infty, portanto a sequência não tem limite finito (os termos vão a +\infty em módulo com sinais alternados — não converge).
Exemplo: para c=\tfrac12 temos a_n = n\cdot 2^{n} que cresce muito rápido para +\infty.

Passo 6

Casos particulares restantes e c=0:
  • Se c=1: então a_n=\dfrac{n}{1^{n}}=n. Logo a_n\to +\infty (diverge).
  • Se c=-1: então a_n=\dfrac{n}{(-1)^{n}} = (-1)^{n} n. Os módulos crescem para +\infty e os sinais alternam; portanto não existe limite finito (diverge, sem limite).
  • Se c=0: para n\ge 1 temos c^{n}=0 e a_n=\dfrac{n}{0} é indefinido. Assim a sequência não está bem definida para n\ge 1 e não faz sentido falar em convergência; portanto rejeitamos c=0 como caso de sequência válida.

Resposta

Se |c|>1 então \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.\nSe c=1 então a_{n}=n\to +\infty (diverge).\nSe c=-1 então a_{n}=(-1)^{n}n (diverge, sem limite).\nSe 0<|c|<1 e c>0 então a_{n}\to +\infty (diverge).\nSe 0<|c|<1 e c<0 então |a_{n}|\to +\infty e os sinais alternam (diverge, sem limite finito).\nSe c=0 a sequência não está definida para n\ge 1 (diverge/indefinida).

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