QUESTÃO : 14
Considere no campo dos números reais a equação irracional a seguir:
É correto afirmar que o menor inteiro m , que faz parte de seu conjunto solução, é um número tal que
:
(A) é um quadrado perfeito.
(B) possui 3 divisores naturais.
(C) possui 4 divisores naturais.
(D) é um número primo.
(E) é um cubo perfeito.
(A) é um quadrado perfeito.
(B) possui 3 divisores naturais.
(C) possui 4 divisores naturais.
(D) é um número primo.
(E) é um cubo perfeito.
Passo 1
O enunciado dá a equação real
e pede: determinar o menor inteiro
que pertence ao conjunto solução dessa equação e, com base nisso, escolher a alternativa correta entre (A) a (E).
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
Não há mais condições adicionais.
Passo 2
Transformação fundamental: para qualquer número real
vale a identidade
Explicando rápido: a raiz quadrada dá o valor não negativo, por isso
é o valor absoluto de
. Aplicando isso à equação obtemos
Passo 3
Observação útil sobre o termo quadrático do meio: considere
. O discriminante é
Como
e o coeficiente de
é
, a parábola está sempre acima do eixo
; portanto
para todo
. Logo
Substituindo isso na equação obtemos
Passo 4
Vamos tratar o valor absoluto linear
em dois casos, porque seu sinal muda quando
.
Caso I:
. Então
e
.
Caso II:
. Então
e
.
Resolveremos cada caso separadamente.
Passo 5
Caso I:
. Substituindo
obtemos
Somando os termos do lado esquerdo:
Definimos
. Primeiro localizamos onde
é não negativo ou negativo: o discriminante de
é
logo
tem duas raízes reais
Então
para
ou
, e
para
.
Subcaso I.a: suponha
. Então
e a equação vira
Cancelando
dos dois lados fica
Verificamos a compatibilidade com as hipóteses:
satisfaz
e
, portanto é solução válida.
Subcaso I.b: suponha
. Então
e a equação vira
Somando
e reorganizando:
Mas já vimos que
tem discriminante
, logo não há raízes reais aqui. Portanto nenhum
desse subintervalo é solução.
Conclusão do Caso I: a única solução com
é
.
Passo 6
Caso II:
. Substituindo
obtemos
Somando o lado esquerdo:
Isto significa que
ou seja, é necessário e suficiente que
. Como
e uma das raízes de
é aproximadamente
, para todo
temos
e, portanto,
. Assim toda
satisfaz a equação. Logo todo o intervalo
está contido no conjunto solução.
Passo 7
Juntando os dois casos, o conjunto solução da equação é
O menor inteiro
que pertence a esse conjunto é
.
Agora verificamos qual alternativa descreve
.
Divisores naturais de :
— são exatamente
divisores. Portanto
possui
divisores naturais. Consequências rápidas:
não é quadrado perfeito, não é primo, não é cubo perfeito, e não tem exatamente
divisores.
Divisores naturais de
Resposta
(C)