QUESTÃO : 14

Considere no campo dos números reais a equação irracional a seguir:
\sqrt{(12-2 x)^{2}}+\sqrt{\left(x^{2}-5 x+9\right)^{2}}=\sqrt{\left(x^{2}-3 x-3\right)^{2}}
É correto afirmar que o menor inteiro m , que faz parte de seu conjunto solução, é um número tal que m :
(A) é um quadrado perfeito.
(B) possui 3 divisores naturais.
(C) possui 4 divisores naturais.
(D) é um número primo.
(E) é um cubo perfeito.

Passo 1

O enunciado dá a equação real
\sqrt{(12-2x)^{2}}+\sqrt{\left(x^{2}-5x+9\right)^{2}}=\sqrt{\left(x^{2}-3x-3\right)^{2}}
e pede: determinar o menor inteiro m que pertence ao conjunto solução dessa equação e, com base nisso, escolher a alternativa correta entre (A) a (E).
Informações relevantes dadas:
\text{a equação acima (em } \mathbb{R}\text{).}çã
Não há mais condições adicionais.

Passo 2

Transformação fundamental: para qualquer número real t vale a identidade
\sqrt{t^{2}}=|t|.
Explicando rápido: a raiz quadrada dá o valor não negativo, por isso \sqrt{t^{2}} é o valor absoluto de t. Aplicando isso à equação obtemos
|12-2x|+|x^{2}-5x+9|=|x^{2}-3x-3|.

Passo 3

Observação útil sobre o termo quadrático do meio: considere p(x)=x^{2}-5x+9. O discriminante é
\Delta_p = (-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 9 =25-36=-11<0.
Como \Delta_p<0 e o coeficiente de x^{2} é +1>0, a parábola está sempre acima do eixo x; portanto p(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. Logo
|x^{2}-5x+9|=x^{2}-5x+9\quad\text{para todo }x.
Substituindo isso na equação obtemos
|12-2x| + (x^{2}-5x+9) = |x^{2}-3x-3|.

Passo 4

Vamos tratar o valor absoluto linear |12-2x| em dois casos, porque seu sinal muda quando 12-2x=0\Rightarrow x=6.
Caso I: x\le 6. Então 12-2x\ge0 e |12-2x|=12-2x.
Caso II: x>6. Então 12-2x<0 e |12-2x|=2x-12.
Resolveremos cada caso separadamente.

Passo 5

Caso I: x\le 6. Substituindo |12-2x|=12-2x obtemos
(12-2x)+(x^{2}-5x+9)=|x^{2}-3x-3|.
Somando os termos do lado esquerdo:
x^{2}-7x+21 = |x^{2}-3x-3|.
Definimos w(x)=x^{2}-3x-3. Primeiro localizamos onde w(x) é não negativo ou negativo: o discriminante de w é
\Delta_w = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-3)=9+12=21>0,
logo w tem duas raízes reais
x=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}\approx -0{,}7915\quad\text{e}\quad 3{,}7915.
Então w(x)\ge0 para x\le -0{,}7915 ou x\ge 3{,}7915, e w(x)<0 para -0{,}7915<x<3{,}7915.
Subcaso I.a: suponha w(x)\ge0. Então |w|=w e a equação vira
x^{2}-3x-3 = x^{2}-7x+21.
Cancelando x^{2} dos dois lados fica
-3x-3 = -7x+21 \quad\Rightarrow\quad 4x=24 \quad\Rightarrow\quad x=6.
Verificamos a compatibilidade com as hipóteses: x=6 satisfaz x\le6 e x\ge 3{,}7915, portanto é solução válida.
Subcaso I.b: suponha w(x)<0. Então |w|=-w e a equação vira
-(x^{2}-3x-3)=x^{2}-7x+21 \quad\Rightarrow\quad -x^{2}+3x+3 = x^{2}-7x+21.
Somando x^{2} e reorganizando:
0 = 2x^{2}-10x+18 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-5x+9=0.
Mas já vimos que x^{2}-5x+9 tem discriminante -11<0, logo não há raízes reais aqui. Portanto nenhum x desse subintervalo é solução.
Conclusão do Caso I: a única solução com x\le6 é x=6.

Passo 6

Caso II: x>6. Substituindo |12-2x|=2x-12 obtemos
(2x-12)+(x^{2}-5x+9)=|x^{2}-3x-3|.
Somando o lado esquerdo:
x^{2}-3x-3 = |x^{2}-3x-3|.
Isto significa que
|w(x)|=w(x),
ou seja, é necessário e suficiente que w(x)\ge0. Como x>6 e uma das raízes de w é aproximadamente 3{,}7915, para todo x>6 temos x\ge 3{,}7915 e, portanto, w(x)\ge0. Assim toda x>6 satisfaz a equação. Logo todo o intervalo (6,+\infty) está contido no conjunto solução.

Passo 7

Juntando os dois casos, o conjunto solução da equação é
[6,+\infty).
O menor inteiro m que pertence a esse conjunto é m=6.
Agora verificamos qual alternativa descreve m=6.
Divisores naturais de 6: 1,2,3,6 — são exatamente 4 divisores. Portanto 6 possui 4 divisores naturais. Consequências rápidas: 6 não é quadrado perfeito, não é primo, não é cubo perfeito, e não tem exatamente 3 divisores.

Resposta

(C)

Exercícios relacionados