Resolva os seguintes exercícios, encontrando e classificando todos os pontos críticos.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar e classificar todos os pontos críticos.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Precisamos achar todos os pontos
onde existem pontos críticos (ou seja, onde o gradiente é zero ou não está definido) e, em seguida, classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 2
O que é um ponto crítico e como achar: um ponto crítico é um ponto onde o gradiente de
é o vetor nulo ou onde derivadas parciais não existem. Aqui
é polinomial, então as derivadas existem em todo lugar; logo procuramos as soluções do sistema
.\n
Vamos calcular as derivadas parciais. Lembra: para tratamos
como constante; para
tratamos
como constante.\n
Cálculos:
Vamos calcular as derivadas parciais. Lembra: para
Cálculos:
Agora resolvemos o sistema
:
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Como classificar esses pontos? Usamos o teste das segundas derivadas (teste da matriz Hessiana). Explico a ideia: formamos a matriz das segundas derivadas parciais — a Hessiana — que nos dá informação sobre a curvatura da superfície em volta do ponto. Para duas variáveis:
As entradas são as segundas derivadas parciais. O teste prático:
- Calcule
no ponto. - Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
teste é inconclusivo.\n
Vamos calcular as segundas derivadas para nossa função. Derivandoem relação a e , e em relação a e :
Logo a Hessiana é
Passo 4
Avaliação do teste no ponto
. Primeiro calcule as segundas derivadas naquele ponto:
O discriminante
Temos
e
. Pelo teste, isso indica que
é um mínimo local.\n
Podemos também calcular o valor da função nesse ponto para referência:
Podemos também calcular o valor da função nesse ponto para referência:
Então
é mínimo local com valor
.
Passo 5
Avaliação do teste no ponto
. Segundas derivadas naquele ponto:
O discriminante
Como
, o teste diz que
é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo local).\n
Valor da função para referência:
Valor da função para referência:
Passo 6
Resumo e observações finais (úteis para prova): encontrei todos os pontos críticos resolvendo
e usei a Hessiana para classificar. Não há máximos locais neste exemplo. Observação extra de comportamento global: como o termo dominante em
é
, a função tende a
quando
e a
quando
, então não existe máximo ou mínimo global para toda a função — apenas o mínimo local em
.