Resolva os seguintes exercícios, encontrando e classificando todos os pontos críticos.
f(x, y)=x^{3}+y^{2}-3 x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{3}+y^{2}-3x e pede para encontrar e classificar todos os pontos críticos.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x^{3}+y^{2}-3x.
  • Precisamos achar todos os pontos (x,y) onde existem pontos críticos (ou seja, onde o gradiente é zero ou não está definido) e, em seguida, classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

O que é um ponto crítico e como achar: um ponto crítico é um ponto onde o gradiente de f é o vetor nulo ou onde derivadas parciais não existem. Aqui f é polinomial, então as derivadas existem em todo lugar; logo procuramos as soluções do sistema \nabla f(x,y)=(0,0).\n
Vamos calcular as derivadas parciais. Lembra: para \partial f/\partial x tratamos y como constante; para \partial f/\partial y tratamos x como constante.\n
Cálculos:
\frac{\partial f}{\partial x}= \text{derivada de }x^{3}\text{ é }3x^{2},\text{ derivada de }-3x\text{ é }-3,\text{ e }y^{2}\text{ é constante,}ééé
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3=3(x^{2}-1).
\frac{\partial f}{\partial y}= \text{derivada de }y^{2}\text{ é }2y,\text{ e as outras parcelas são constantes em }y,éã
\frac{\partial f}{\partial y}=2y.
Agora resolvemos o sistema \frac{\partial f}{\partial x}=0,\\ \frac{\partial f}{\partial y}=0:
3(x^{2}-1)=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}-1=0\quad\Rightarrow\quad x=\pm 1,
2y=0\quad\Rightarrow\quad y=0.
Portanto os pontos críticos são (1,0) e (-1,0).

Passo 3

Como classificar esses pontos? Usamos o teste das segundas derivadas (teste da matriz Hessiana). Explico a ideia: formamos a matriz das segundas derivadas parciais — a Hessiana — que nos dá informação sobre a curvatura da superfície em volta do ponto. Para duas variáveis:
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}.
As entradas são as segundas derivadas parciais. O teste prático:
  • Calcule D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2} no ponto.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 teste é inconclusivo.\n
    Vamos calcular as segundas derivadas para nossa função. Derivando \frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3 em relação a x e y, e \frac{\partial f}{\partial y}=2y em relação a x e y:
f_{xx}= \frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}-3)=6x,
f_{xy}= \frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}-3)=0,
f_{yy}= \frac{\partial}{\partial y}(2y)=2.
Logo a Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix}6x & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Avaliação do teste no ponto (1,0). Primeiro calcule as segundas derivadas naquele ponto:
f_{xx}(1,0)=6\cdot 1=6,\quad f_{xy}(1,0)=0,\quad f_{yy}(1,0)=2.
O discriminante
D(1,0)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=6\cdot 2-0=12.
Temos D(1,0)=12>0 e f_{xx}(1,0)=6>0. Pelo teste, isso indica que (1,0) é um mínimo local.\n
Podemos também calcular o valor da função nesse ponto para referência:
f(1,0)=1^{3}+0^{2}-3\cdot 1=1-3=-2.
Então (1,0) é mínimo local com valor f(1,0)=-2.

Passo 5

Avaliação do teste no ponto (-1,0). Segundas derivadas naquele ponto:
f_{xx}(-1,0)=6\cdot(-1)=-6,\quad f_{xy}(-1,0)=0,\quad f_{yy}(-1,0)=2.
O discriminante
D(-1,0)=(-6)\cdot 2-0=-12.
Como D(-1,0)=-12<0, o teste diz que (-1,0) é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo local).\n
Valor da função para referência:
f(-1,0)=(-1)^{3}+0^{2}-3(-1)=-1+3=2.

Passo 6

Resumo e observações finais (úteis para prova): encontrei todos os pontos críticos resolvendo \nabla f=0 e usei a Hessiana para classificar. Não há máximos locais neste exemplo. Observação extra de comportamento global: como o termo dominante em x é x^{3}, a função tende a +\infty quando x\to+\infty e a -\infty quando x\to-\infty, então não existe máximo ou mínimo global para toda a função — apenas o mínimo local em (1,0).

Resposta

(1,0): mínimo local, com f(1,0)=-2.
(-1,0): ponto de sela, com f(-1,0)=2.

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