Exercício 7 Nos exercícios abaixo, esboce as curvas de nível da função correspondentes aos valores dados de z.
f(x, y)=x y ; z=-4,-2,2,4

Passo 1

O enunciado pede para traçarmos as curvas de nível da função
f(x,y)=x\,y
para os valores \;z=-4,\,-2,\,2,\,4.
O conteúdo principal é entender que uma curva de nível de f para um valor z é o conjunto de pontos (x,y) que satisfaz
f(x,y)=z.

Passo 2

Escrevendo a condição de nível de forma implícita, temos
x\,y = z.
Para cada valor fixo de z, isso define uma curva no plano xy.

Passo 3

Podemos resolver explicitamente para y:
y = \frac{z}{x}.
Isso é a equação de uma hipérbole equilátera com assíntotas nos eixos x=0 e y=0.

Passo 4

O sinal de z determina em quais quadrantes a hipérbole aparece:
– Se z>0, a curva está nos quadrantes I (onde x>0,y>0) e III (onde x<0,y<0).
– Se z<0, a curva está nos quadrantes II (onde x<0,y>0) e IV (onde x>0,y<0).

Passo 5

Para cada valor solicitado: \;z=2;⇒; y=2/x, hipérbole em I e III. \;z=4;⇒; y=4/x, hipérbole em I e III, mais “afastada” da origem. \;z=-2;⇒; y=-2/x, hipérbole em II e IV. \;z=-4;⇒; y=-4/x, hipérbole em II e IV, mais “afastada” da origem.
Em cada caso basta esboçar o ramo de curva assintótico aos eixos.

Resposta

As curvas de nível são as hipérboles dadas por
y = \frac{2}{x},\quad y = \frac{4}{x},\quad y = -\frac{2}{x},\quad y = -\frac{4}{x},
respectivamente para z=2,4,-2,-4.

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