Exercício 7 Nos exercícios abaixo, esboce as curvas de nível da função correspondentes aos valores dados de z.
f(x, y)=2 x^{2}+y ; z=-2,-1,0,1,2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=2x^{2}+y
e pede que a gente esboce as curvas de nível para os valores \,z=-2,-1,0,1,2.
O conteúdo aqui é “curvas de nível” (ou “contornos”), e para cada valor de z vamos precisar de fato resolver
2x^{2}+y=z
para obter a equação em x e y que desenharemos no plano.

Passo 2

Para cada constante z, a curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) tais que
2x^{2}+y=z.
Isolando y, obtemos a forma padrão
y = z \;-\; 2x^{2}.
Isso mostra que cada curva de nível é uma parábola, com concavidade voltada para baixo e vértice em \bigl(0,z\bigr).

Passo 3

Substituímos agora cada valor de z:
\begin{aligned} z=-2 &:&& y = -2 \;-\; 2x^{2},\\\ z=-1 &:&& y = -1 \;-\; 2x^{2},\\\ z=0 &:&& y = 0 \;-\; 2x^{2} = -2x^{2},\\\ z=1 &:&& y = 1 \;-\; 2x^{2},\\\ z=2 &:&& y = 2 \;-\; 2x^{2}. \end{aligned}

Passo 4

Para esboçar no plano xy:
  1. Trace o eixo x horizontal e o eixo y vertical.
  2. Em cada caso a parábola tem vértice em (0,z) e “abre” para baixo.
  3. As cinco parábolas são idênticas em largura, apenas deslocadas verticalmente conforme z.
  4. Marque alguns pontos, por exemplo x=\pm1 y=z-2, e em seguida desenhe o contorno suave de cada parábola.

Resposta

As curvas de nível são as parábolas
\begin{cases} y = -2 - 2x^{2},\\\ y = -1 - 2x^{2},\\\ y = -2x^{2},\\\ y = 1 - 2x^{2},\\\ y = 2 - 2x^{2}. \end{cases}

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