Exercício 7 Nos exercícios abaixo, esboce as curvas de nível da função correspondentes aos valores dados de z.
f(x, y)=-x^{2}+y ; z=-2,-1,0,1,2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível da função
f(x,y) = -x^{2} + y
correspondentes aos valores -2,-1,0,1,2.
Este é um problema de curvas de nível: para cada valor fixo z, achamos o lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que f(x,y)=z.

Passo 2

Para encontrar a curva de nível de parâmetro z, igualamos
f(x,y)=z
ou seja
-x^{2}+y = z
e isolamos y.

Passo 3

Isolando y, obtemos a equação geral
y = x^{2} + z.
Isso mostra que, para cada z, a curva de nível é uma parábola com concavidade para cima e vértice em (0,z).

Passo 4

Agora basta substituir cada valor de z dado: \,z=-2:\quad y = x^{2} - 2, vértice em (0,-2). \,z=-1:\quad y = x^{2} - 1, vértice em (0,-1). \,z=0:\quad y = x^{2}, vértice em (0,0). \,z=1:\quad y = x^{2} + 1, vértice em (0,1). \,z=2:\quad y = x^{2} + 2, vértice em (0,2).
Cada uma é uma parábola padrão y=x^2 transladada verticalmente até y=x^2+z.

Resposta

As curvas de nível são as parábolas
y = x^{2} - 2,\quad y = x^{2} - 1,\quad y = x^{2},\quad y = x^{2} + 1,\quad y = x^{2} + 2,
com vértices em (0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1) e (0,2), respectivamente.

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