Exercício 1.9. Explique a diferença entre
Passo 1
O enunciado pede para explicar a diferença entre as duas fórmulas:
e
Informações relevantes dadas (ou implícitas):
- As fórmulas usam quantificadores
(para todo) e (existe). - Os quantificadores quantificam sobre o mesmo universo (por exemplo, números reais
ou inteiros ). - Não foi dada outra restrição ao símbolo
, então trata-se da ordem estrita habitual (por exemplo, a ordem entre números).
Passo 2
Interpretando cada fórmula em linguagem natural:
-
quer dizer: "Para todo , existe (pelo menos) um tal que ". Aqui o pode depender de — para cada eu posso escolher um possivelmente diferente. -
quer dizer: "Existe (pelo menos) um tal que para todo tem-se ". Aqui é pedido um único que sirva para todos os ao mesmo tempo.
A diferença essencial é que na primeira o valor de
pode variar com
; na segunda há um único
fixo que deve funcionar para todo
.
Passo 3
Como provar/ver se cada uma é verdadeira ou falsa (técnica):
- Para mostrar que
é verdadeira, basta dar uma regra/receita que, para cada , construa um (dependente de ) que satisfaça . Esse é chamado de “testemunha” que pode depender de . - Para mostrar que
é falsa, deve-se mostrar que nenhum possible funciona para todos os ; uma maneira comum é pegar um candidato arbitrário e produzir algum (às vezes ) que contradiga .
Passo 4
Avaliação em universos usuais (por exemplo
) — prova de que a primeira é verdadeira:
Dado qualquer nesses conjuntos, escolha
Dado qualquer
Então
claramente (porque
). Essa escolha fornece, para cada
, um
que satisfaz
. Portanto
é verdadeira nesses universos: para cada
existe um
(por exemplo
) maior que
.
Passo 5
Avaliação da segunda fórmula — prova de que é impossível quando o universo é não-vazio e os quantificadores variam sobre o mesmo conjunto:
Suponha, por contradição, que
Suponha, por contradição, que
fosse verdadeira. Então existe algum
tal que para todo
vale
. Em particular, como o quantificador
inclui o caso
, deveríamos ter
. Mas a relação estrita
nunca é satisfeita por
(um número não é estritamente maior que ele mesmo). Logo obtemos contradição. Portanto não existe tal
e a fórmula
é falsa para qualquer universo não-vazio onde
é a ordem estrita usual.
Passo 6
Comentário sobre casos extremos:
- Se o universo for vazio,
é verdade vacuamente (pois não há para violar a propriedade) e é falsa (não existe ). Mas em situações usuais (universo não-vazio como ) a análise dos passos anteriores vale. - Em resumo, a ordem dos quantificadores muda o significado: primeiro quantificar
e depois permite escolher dependendo de ; inverter a ordem exige um único universal, o que aqui é impossível.
Resposta
A primeira afirma que "para cada
existe um
(possivelmente dependente de
) com
"; em universos usuais isso é verdadeiro (por exemplo
).
A segunda afirma que "existe um único que é maior do que todo
"; isso é impossível em universos não-vazios com a ordem estrita usual, pois exigiria
, uma contradição.
A segunda afirma que "existe um único