Exercício 1.9. Explique a diferença entre
\forall x \exists y(y>x) \quad \text { e } \quad \exists y \forall x(y>x) .

Passo 1

O enunciado pede para explicar a diferença entre as duas fórmulas:
\forall x\\ \exists y\\ (y>x)
e
\exists y\\ \forall x\\ (y>x).
Informações relevantes dadas (ou implícitas):
  • As fórmulas usam quantificadores \forall (para todo) e \exists (existe).
  • Os quantificadores quantificam sobre o mesmo universo (por exemplo, números reais \mathbb{R} ou inteiros \mathbb{Z}).
  • Não foi dada outra restrição ao símbolo >, então trata-se da ordem estrita habitual (por exemplo, a ordem entre números).

Passo 2

Interpretando cada fórmula em linguagem natural:
  • \forall x\\ \exists y\\ (y>x) quer dizer: "Para todo x, existe (pelo menos) um y tal que y>x". Aqui o y pode depender de x — para cada x eu posso escolher um y possivelmente diferente.
  • \exists y\\ \forall x\\ (y>x) quer dizer: "Existe (pelo menos) um y tal que para todo x tem-se y>x". Aqui é pedido um único y que sirva para todos os x ao mesmo tempo.
A diferença essencial é que na primeira o valor de y pode variar com x; na segunda há um único y fixo que deve funcionar para todo x.

Passo 3

Como provar/ver se cada uma é verdadeira ou falsa (técnica):
  • Para mostrar que \forall x\\ \exists y\\ P(x,y) é verdadeira, basta dar uma regra/receita que, para cada x, construa um y (dependente de x) que satisfaça P(x,y). Esse y é chamado de “testemunha” que pode depender de x.
  • Para mostrar que \exists y\\ \forall x\\ P(x,y) é falsa, deve-se mostrar que nenhum y possible funciona para todos os x; uma maneira comum é pegar um candidato arbitrário y_0 e produzir algum x (às vezes x=y_0) que contradiga P(x,y_0).

Passo 4

Avaliação em universos usuais (por exemplo \mathbb{R},\mathbb{Z},\mathbb{N}) — prova de que a primeira é verdadeira:
Dado qualquer x nesses conjuntos, escolha
y = x+1.
Então y>x claramente (porque x+1>x). Essa escolha fornece, para cada x, um y que satisfaz y>x. Portanto
\forall x\\ \exists y\\ (y>x)
é verdadeira nesses universos: para cada x existe um y (por exemplo x+1) maior que x.

Passo 5

Avaliação da segunda fórmula — prova de que é impossível quando o universo é não-vazio e os quantificadores variam sobre o mesmo conjunto:
Suponha, por contradição, que
\exists y\\ \forall x\\ (y>x)
fosse verdadeira. Então existe algum y_0 tal que para todo x vale y_0>x. Em particular, como o quantificador \forall x inclui o caso x=y_0, deveríamos ter y_0>y_0. Mas a relação estrita > nunca é satisfeita por y_0>y_0 (um número não é estritamente maior que ele mesmo). Logo obtemos contradição. Portanto não existe tal y_0 e a fórmula
\exists y\\ \forall x\\ (y>x)
é falsa para qualquer universo não-vazio onde > é a ordem estrita usual.

Passo 6

Comentário sobre casos extremos:
  • Se o universo for vazio, \forall x\\ \exists y\\ (y>x) é verdade vacuamente (pois não há x para violar a propriedade) e \exists y\\ \forall x\\ (y>x) é falsa (não existe y). Mas em situações usuais (universo não-vazio como \mathbb{R}) a análise dos passos anteriores vale.
  • Em resumo, a ordem dos quantificadores muda o significado: primeiro quantificar \forall e depois \exists permite escolher y dependendo de x; inverter a ordem exige um único y universal, o que aqui é impossível.

Resposta

A primeira afirma que "para cada x existe um y (possivelmente dependente de x) com y>x"; em universos usuais isso é verdadeiro (por exemplo y=x+1).
A segunda afirma que "existe um único y que é maior do que todo x"; isso é impossível em universos não-vazios com a ordem estrita usual, pois exigiria y>y, uma contradição.

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