Exercício 1.7. Sejam P e Q proposições. Escreva a tabela verdade da composta \neg(\neg P \wedge \neg Q).

Passo 1

O enunciado pede explicitamente: escrever a tabela verdade da composta \neg(\neg P \wedge \neg Q).
Informações dadas:
  • P e Q são proposições (podem ser verdadeiras ou falsas).
  • A expressão a avaliar é \neg(\neg P \wedge \neg Q).
    Nada mais é fornecido.

Passo 2

Vamos lembrar o significado dos conectivos usados (explicação bem passo a passo):
  • Negação \neg A: inverte o valor de verdade de A. Ou seja, se A for V então \neg A é F; se A for F então \neg A é V.
  • Conjunção A \wedge B: é V somente quando ambos A e B são V; em qualquer outro caso A \wedge B é F.
    Vou usar V para verdadeiro e F para falso.

Passo 3

Listamos todas as combinações possíveis de valores de P e Q. São quatro combinações (porque cada proposição tem 2 valores):
  1. P=V,\;Q=V
  2. P=V,\;Q=F
  3. P=F,\;Q=V
  4. P=F,\;Q=F
Vou construir colunas intermediárias para facilitar: \neg P, \neg Q, \neg P \wedge \neg Q e finalmente \neg(\neg P \wedge \neg Q).

Passo 4

Calcular \neg P e \neg Q linha a linha usando a regra da negação:
  • Se P=V então \neg P=F; se P=F então \neg P=V.
  • Se Q=V então \neg Q=F; se Q=F então \neg Q=V.
Aplicando às quatro linhas:
  • Para P=V,\;Q=V: \neg P=F,\;\neg Q=F.
  • Para P=V,\;Q=F: \neg P=F,\;\neg Q=V.
  • Para P=F,\;Q=V: \neg P=V,\;\neg Q=F.
  • Para P=F,\;Q=F: \neg P=V,\;\neg Q=V.

Passo 5

Calcular \neg P \wedge \neg Q usando a regra da conjunção (só é V se ambas as partes forem V):
  • Linha 1: \neg P=F e \neg Q=F \neg P \wedge \neg Q = F.
  • Linha 2: \neg P=F e \neg Q=V \neg P \wedge \neg Q = F.
  • Linha 3: \neg P=V e \neg Q=F \neg P \wedge \neg Q = F.
  • Linha 4: \neg P=V e \neg Q=V \neg P \wedge \neg Q = V.

Passo 6

Agora aplicamos a negação externa: \neg(\neg P \wedge \neg Q). A negação inverte os valores obtidos em \neg P \wedge \neg Q:
  • Se \neg P \wedge \neg Q = F então \neg(\neg P \wedge \neg Q) = V.
  • Se \neg P \wedge \neg Q = V então \neg(\neg P \wedge \neg Q) = F.
Aplicando às linhas:
  • Linhas 1, 2, 3: \neg P \wedge \neg Q = F \neg(\neg P \wedge \neg Q) = V.
  • Linha 4: \neg P \wedge \neg Q = V \neg(\neg P \wedge \neg Q) = F.

Passo 7

Observação adicional (útil para a prova): pela Lei de De Morgan e dupla negação tem-se a equivalência
\neg(\neg P \wedge \neg Q) \equiv \neg\neg P \vee \neg\neg Q \equiv P \vee Q.
Ou seja, a expressão dada é logicamente equivalente ao disjunto P \vee Q. Isso confirma a tabela que montamos.

Resposta

P\ \ Q\ \ \neg P\ \ \neg Q\ \ \neg P \wedge \neg Q\ \ \neg(\neg P \wedge \neg Q)\n
V\ \ V\ \ F\ \ F\ \ F\ \ V\n
V\ \ F\ \ F\ \ V\ \ F\ \ V\n
F\ \ V\ \ V\ \ F\ \ F\ \ V\n
F\ \ F\ \ V\ \ V\ \ V\ \ F

Exercícios relacionados