Exercício 1.11. Utilize as Leis de De Morgan para negar a proposição composta abaixo, simplificando o resultado para que o símbolo de negação (\neg) atue apenas sobre as proposições simples,
\neg(\neg P \vee(Q \wedge \neg R)) .

Passo 1

O enunciado dá a proposição composta \neg(\neg P \vee (Q \wedge \neg R)) e pede para negar essa proposição usando as Leis de De Morgan, simplificando o resultado de modo que o símbolo de negação \neg atue somente sobre proposições simples.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão inicial é \neg(\neg P \vee (Q \wedge \neg R)).
  • O objetivo é obter uma expressão logicamente equivalente em que as negações estejam apenas aplicadas a proposições simples ( P, Q, R).

Passo 2

Lembrando as Leis de De Morgan (essas são as ferramentas principais aqui). Para quaisquer proposições A e B valem as equivalências:
\neg(A \vee B)\equiv \neg A \wedge \neg B
\neg(A \wedge B)\equiv \neg A \vee \neg B
Explicando em palavras: “não (A ou B)” é equivalente a “(não A) e (não B)”; e “não (A e B)” é equivalente a “(não A) ou (não B)”. Um exemplo concreto: se A = “chove” e B = “estuda”, então “não (chove ou estuda)” significa “não chove e não estuda”.

Passo 3

Aplicar a primeira Lei de De Morgan ao termo externo \neg(\neg P \vee (Q \wedge \neg R)), tomando A=\neg P e B=(Q \wedge \neg R). Pela lei:
\neg(\neg P \vee (Q \wedge \neg R)) \equiv \neg(\neg P)\wedge \neg(Q \wedge \neg R).

Passo 4

Aplicar a lei da dupla negação ao primeiro fator \neg(\neg P). A lei diz que, para qualquer proposição S,
\neg(\neg S)\equiv S.
Portanto \neg(\neg P)\equiv P. Substituindo na expressão:
\neg(\neg P)\wedge \neg(Q \wedge \neg R) \equiv P \wedge \neg(Q \wedge \neg R).

Passo 5

Agora aplicar De Morgan ao segundo fator \neg(Q \wedge \neg R). Usando \neg(A\wedge B)\equiv \neg A\vee \neg B com A=Q e B=\neg R, obtemos
\neg(Q \wedge \neg R)\equiv \neg Q \vee \neg(\neg R).
Usando dupla negação em \neg(\neg R), temos \neg(\neg R)\equiv R. Logo
\neg(Q \wedge \neg R)\equiv \neg Q \vee R.

Passo 6

Substituir o resultado do Passo 5 na expressão do Passo 4. Assim:
P \wedge \neg(Q \wedge \neg R) \equiv P \wedge (\neg Q \vee R).
Nessa forma final, a negação aparece apenas sobre a proposição simples Q, como exigido. Observação: essa expressão também é equivalente à forma distribuída (P \wedge \neg Q)\vee (P \wedge R), caso se queira em disjunção de conjunções, mas não é necessário para atender ao enunciado.

Resposta

P \wedge (\neg Q \vee R)

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