Exercício 1.11. Utilize as Leis de De Morgan para negar a proposição composta abaixo, simplificando o resultado para que o símbolo de negação
atue apenas sobre as proposições simples,
Passo 1
O enunciado dá a proposição composta
e pede para negar essa proposição usando as Leis de De Morgan, simplificando o resultado de modo que o símbolo de negação
atue somente sobre proposições simples.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão inicial é
. - O objetivo é obter uma expressão logicamente equivalente em que as negações estejam apenas aplicadas a proposições simples (
, , ).
Passo 2
Lembrando as Leis de De Morgan (essas são as ferramentas principais aqui). Para quaisquer proposições
e
valem as equivalências:
Explicando em palavras: “não (A ou B)” é equivalente a “(não A) e (não B)”; e “não (A e B)” é equivalente a “(não A) ou (não B)”. Um exemplo concreto: se
= “chove” e
= “estuda”, então “não (chove ou estuda)” significa “não chove e não estuda”.
Passo 3
Aplicar a primeira Lei de De Morgan ao termo externo
, tomando
e
. Pela lei:
Passo 4
Aplicar a lei da dupla negação ao primeiro fator
. A lei diz que, para qualquer proposição
,
Portanto
. Substituindo na expressão:
Passo 5
Agora aplicar De Morgan ao segundo fator
. Usando
com
e
, obtemos
Usando dupla negação em
, temos
. Logo
Passo 6
Substituir o resultado do Passo 5 na expressão do Passo 4. Assim:
Nessa forma final, a negação aparece apenas sobre a proposição simples
, como exigido. Observação: essa expressão também é equivalente à forma distribuída
, caso se queira em disjunção de conjunções, mas não é necessário para atender ao enunciado.