Exercício 4. Explique por que o operador -y^{\prime \prime}(x) com condições de Dirichlet homogêneas
y(0)=0, \quad y(L)=0

Passo 1

O enunciado pede uma explicação sobre o operador linear dado por
A: y \mapsto -y^{\prime\prime}(x)
com condições de contorno de Dirichlet homogêneas
y(0)=0,\qquad y(L)=0.
Informações que temos (tiradas do enunciado):
  • O operador atua em funções definidas no intervalo [0,L].
  • As condições de contorno são y(0)=0 e y(L)=0.
  • Não foi dado explicitamente o espaço funcional, então vamos trabalhar no espaço de Hilbert padrão para estes problemas, isto é L^{2}(0,L), tomando como domínio natural do operador o espaço
D(A)=\{\,y\in H^{2}(0,L):\; y(0)=y(L)=0\,\},
onde H^{2}(0,L) é o espaço de funções com derivadas fracas até segunda ordem em L^{2}(0,L).
O que vou explicar (ou seja, o que normalmente se pede para esse operador): mostrar que A é simétrico (autoadjunto na escolha adequada de domínio), que é (semi)definido positivo, e encontrar suas autofunções/autovalores clássicos (os modos de Dirichlet). Não vou pressupor que você já saiba integração por partes fraca ou teoria de Sturm–Liouville: vou mostrar passo a passo a integração por partes e as consequências.

Passo 2

Definir o produto interno e fazer integração por partes (ferramenta-chave).
Produto interno em L^{2}(0,L):
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{L} f(x)\,\overline{g(x)}\,\mathrm{d}x.
Tomemos duas funções suaves y,z\in C^{2}[0,L] satisfazendo as condições de Dirichlet. Calculemos \langle A y,z\rangle:
\langle A y,z\rangle=\int_{0}^{L} \big(-y''(x)\big)\,\overline{z(x)}\,\mathrm{d}x.
Aplicamos integração por partes uma vez. A fórmula (para funções suficientemente suaves) é
\int_{0}^{L} u''(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x = \big[u'(x)v(x)\big]_{0}^{L} - \int_{0}^{L} u'(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x.
Usando essa fórmula com u=y e v=\overline{z} (note que \overline{z} é só o conjugado, o procedimento é o mesmo), obtemos
\int_{0}^{L} -y''(x)\,\overline{z(x)}\,\mathrm{d}x = -\big[y'(x)\,\overline{z(x)}\big]_{0}^{L} + \int_{0}^{L} y'(x)\,\overline{z'(x)}\,\mathrm{d}x.
Mas as condições de Dirichlet implicam z(0)=z(L)=0. Portanto o termo de fronteira some:
\big[y'(x)\,\overline{z(x)}\big]_{0}^{L}=y'(L)\overline{z(L)}-y'(0)\overline{z(0)}=0.
Ficamos então com
\langle A y,z\rangle = \int_{0}^{L} y'(x)\,\overline{z'(x)}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Mostrar simetria do operador (ou seja, \langle A y,z\rangle=\langle y,A z\rangle).
Repetindo o cálculo trocando y por z (ou tomando conjugado apropriado), obtemos
\langle y,A z\rangle = \int_{0}^{L} y(x)\,\overline{(-z''(x))}\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{L} y'(x)\,\overline{z'(x)}\,\mathrm{d}x,
usando integração por partes e as mesmas condições de contorno (os termos de contorno também se anulam). Portanto, para y,z\in D(A),
\langle A y,z\rangle = \langle y,A z\rangle.
Isto mostra que A é simétrico (ou hermitiano) no domínio D(A).
Comentário didático curto: a razão prática é que a operação de derivar duas vezes e multiplicar por -1 é, depois de integrar por partes, equivalente a medir o produto das derivadas primeiras; as condições de contorno fazem desaparecer os termos de fronteira que poderiam estragar a simetria.

Passo 4

Mostrar positividade (na verdade positiva definida) do operador.
Calculemos \langle A y,y\rangle para y\in D(A):
\langle A y,y\rangle = \int_{0}^{L} \big(-y''(x)\big)\,\overline{y(x)}\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{L} |y'(x)|^{2}\,\mathrm{d}x,
onde, de novo, usamos integração por partes e o fato de y(0)=y(L)=0 para anular os termos de fronteira. A integral \int_{0}^{L}|y'|^{2} é sempre não negativa, logo
\langle A y,y\rangle \ge 0\qquad\text{para todo }y\in D(A).
Além disso, se \langle A y,y\rangle=0, então |y'(x)|^{2}=0 quase em todo lugar, o que implica y'(x)=0 quase sempre, então y é constante. Como y(0)=0, a constante é zero, logo y\equiv 0. Portanto \langle A y,y\rangle=0 só ocorre para y=0. Assim A é positivo definido (estritamente positivo) no domínio D(A).
Didaticamente: uma maneira intuitiva de ver isso é que -y'' mede “curvatura” e as condições de contorno impedem soluções constantes não nulas; a quantidade \int_{0}^{L}|y'|^{2} é uma energia associada à função — sempre não negativa e só zero para a função nula com essas BC.

Passo 5

Breve comentário sobre autoadjuntude (por que não é só simétrico, mas adequadamente autoadjunto) e espectro.
  • Autoadjuntude: sem entrar em provas técnicas pesadas, a ideia é que o domínio natural D(A)=H^{2}(0,L)\cap H_{0}^{1}(0,L) (ou seja, funções em H^{2} que anulam em 0 e L) é igual ao domínio do adjunto A^{*}. Intuitivamente, se um z\in L^{2}(0,L) satisfaz \langle A y,z\rangle=\langle y,w\rangle para todo y\in D(A), a integração por partes mostra que z tem que ter segunda derivada em L^{2} e satisfazer as mesmas condições de contorno; então z\in D(A) e A^{*}z=-z''. Assim A é autoadjunto em D(A). Em cursos básicos isso aparece como consequência da teoria de operadores de Sturm–Liouville; para este operador clássico com BC de Dirichlet, A é autoadjunto e tem espectro discreto real.
  • Espectro/eigenfunções (modo clássico): resolver
- y''(x)=\lambda y(x),\qquad y(0)=y(L)=0.
Resumidamente:
  • Se \lambda<0 nenhuma solução não-trivial satisfaz as BC.
  • Se \lambda=0 a única solução é y\equiv0.
  • Se \lambda>0, escrevendo \lambda=k^{2} com k>0, a solução geral é y(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx). As condições y(0)=0 obrigam A=0, e y(L)=0 B\sin(kL)=0. Para uma solução não-trivial precisamos \sin(kL)=0, logo kL=n\pi para algum n\in\mathbb{N}. Assim
\lambda_{n}=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2},\qquad y_{n}(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\qquad n=1,2,3,\dots
Cada \lambda_{n}>0, mostrando concretamente que o operador tem apenas autovalores positivos e autovetores ortogonais (no produto interno de L^{2}).

Passo 6

Resumo final das consequências e intuição física/amigável.
  • A integração por partes + condições de Dirichlet faz desaparecer os termos de contorno, transformando \langle -y'',z\rangle em \int y'\overline{z'}. É essa propriedade que dá simetria e permite escrever a “energia” \langle A y,y\rangle=\int|y'|^{2}.
  • A integral \int_{0}^{L}|y'|^{2} sendo não negativa e só zero para y\equiv0 mostra positividade estrita.
  • As soluções explícitas mostram que os autovalores são \lambda_{n}=(n\pi/L)^{2} e que as autofunções formam a base senoidal clássica do problema de Dirichlet — é o que em física é interpretado como os modos normais de uma corda presa nas duas pontas.

Resposta

\langle -y'',y\rangle=\int_{0}^{L}|y'(x)|^{2}\,\mathrm{d}x\ge 0 (com igualdade só para y\equiv0), logo o operador é positivo; as condições de Dirichlet anulam os termos de fronteira na integração por partes, o que implica \langle -y'',z\rangle=\langle y,-z''\rangle e portanto o operador é simétrico (autoadjunto no domínio D(A)=H^{2}(0,L)\cap H_{0}^{1}(0,L)); seus autovalores são \lambda_{n}=\big(\tfrac{n\pi}{L}\big)^{2} com autofunções y_{n}(x)=\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big), todos positivos.

Exercícios relacionados