Questão 6. (3pts) Encontre os pontos críticos da função
Passo 1
O enunciado dá a função
O que é pedido: encontrar os pontos críticos da função (ou seja, os pontos
onde a função tem derivadas parciais nulas ou onde as derivadas parciais não existem).
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
(veja acima). - Não há restrição de domínio indicada, portanto o domínio é todo o plano
.
Passo 2
Conceito e estratégia (passo-a-passo didático):
- Um ponto
é chamado de ponto crítico se as derivadas parciais first-order existem e o gradiente se anula em , isto é,
ou se alguma derivada parcial não existe. Neste problema as derivadas parciais existem para todos
, porque
é polinomial, então basta resolver
.
Como calcular derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a
,
, é a derivada como se
fosse constante; similarmente
é a derivada em relação a
com
fixo.
Vamos calcular as derivadas parciais explicitamente, termo a termo:
- Para
: derive cada termo de em relação a . -
. -
(porque é tratado como constante). -
. -
. -
.
Assim
-
- Para
: derive cada termo de em relação a . -
. -
. -
. -
. -
.
Assim
-
Passo 3
Resolver o sistema
Resolver a primeira equação:
Resolver a segunda equação:
Como as derivadas parciais existem em todo
. Combinando
com as duas possibilidades de
, obtemos dois pontos críticos:
Passo 4
Classificação (opcional, útil para prova): usar a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas.
- Calcular as segundas derivadas:
- Determinante da Hessiana (denotado
) é - Avaliar em cada ponto crítico:
- Em
: e . Conclusão: tem um mínimo local em . - Em
: . Conclusão: ponto de sela em .
- Em
Breve interpretação:
e
indica mínimo local;
indica ponto de sela.
Passo 5
Valores da função nos pontos críticos (checagem rápida):
- Em
: - Em
: