Questão 6. (3pts) Encontre os pontos críticos da função
f(x, y)=x^{2}+y^{3}-6 x-12 y+14 .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}+y^{3}-6x-12y+14.
O que é pedido: encontrar os pontos críticos da função (ou seja, os pontos (x,y) onde a função tem derivadas parciais nulas ou onde as derivadas parciais não existem).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x,y) (veja acima).
  • Não há restrição de domínio indicada, portanto o domínio é todo o plano \mathbb{R}^2.

Passo 2

Conceito e estratégia (passo-a-passo didático):
  • Um ponto (x_0,y_0) é chamado de ponto crítico se as derivadas parciais first-order existem e o gradiente se anula em (x_0,y_0), isto é,
\nabla f(x_0,y_0)=\bigl(f_x(x_0,y_0),\,f_y(x_0,y_0)\bigr)=(0,0),
ou se alguma derivada parcial não existe. Neste problema as derivadas parciais existem para todos (x,y), porque f é polinomial, então basta resolver \nabla f=0.
Como calcular derivada parcial: a derivada parcial de f em relação a x, f_x, é a derivada como se y fosse constante; similarmente f_y é a derivada em relação a y com x fixo.
Vamos calcular as derivadas parciais explicitamente, termo a termo:
  • Para f_x: derive cada termo de f em relação a x.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{3}\bigr)=0 (porque y é tratado como constante).
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(-6x\bigr)=-6.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(-12y\bigr)=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(14\bigr)=0.
      Assim
    f_x(x,y)=2x-6.
  • Para f_y: derive cada termo de f em relação a y.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\bigr)=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(-6x\bigr)=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(-12y\bigr)=-12.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(14\bigr)=0.
      Assim
    f_y(x,y)=3y^{2}-12.

Passo 3

Resolver o sistema \nabla f=0\): \[\begin{cases} f_x(x,y)=2x-6=0,\\[4pt] f_y(x,y)=3y^{2}-12=0. \end{cases}
Resolver a primeira equação:
2x-6=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=6 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Resolver a segunda equação:
3y^{2}-12=0 \quad\Rightarrow\quad 3y^{2}=12 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad y=2\\ \text{ou}\\ y=-2.
Como as derivadas parciais existem em todo \mathbb{R}^2\], não há outros pontos críticos além dos que vêm de \(\nabla f=0. Combinando x=3 com as duas possibilidades de y, obtemos dois pontos críticos:
(3,2) e (3,-2).]

Passo 4

Classificação (opcional, útil para prova): usar a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas.
  • Calcular as segundas derivadas: f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(2x-6)=2,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(3y^{2}-12)=6y,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2x-6)=0.
  • Determinante da Hessiana (denotado D) é D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}=2\cdot(6y)-0=12y.
  • Avaliar em cada ponto crítico:
    • Em (3,2): D(3,2)=12\cdot 2=24>0 e f_{xx}(3,2)=2>0. Conclusão: f tem um mínimo local em (3,2).
    • Em (3,-2): D(3,-2)=12\cdot(-2)=-24<0. Conclusão: ponto de sela em (3,-2).
Breve interpretação: D>0 e f_{xx}>0 indica mínimo local; D<0 indica ponto de sela.

Passo 5

Valores da função nos pontos críticos (checagem rápida):
  • Em (3,2): f(3,2)=3^{2}+2^{3}-6\cdot 3-12\cdot 2+14=9+8-18-24+14=-11.
  • Em (3,-2): f(3,-2)=3^{2}+(-2)^{3}-6\cdot 3-12\cdot(-2)+14=9-8-18+24+14=21.

Resposta

(3,2)
(3,-2)

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