Questão 5. (3pts) Encontre o Gradiente,
, da função
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o gradiente,
, da função fornecida. Os dados do problema são:
- A função é
- A tarefa: calcular o vetor gradiente
, isto é, as derivadas parciais , e .
Passo 2
O que é cada derivada parcial e quais regras vamos usar (aula rápida e prática).
- A derivada parcial
é a taxa de variação de quando apenas varia e ficam fixos. - Regras que vamos aplicar:
- Regra do produto: se
, então . - Regra da cadeia: se temos uma composição
, então .
- Regra do produto: se
- Na nossa função, pense nela como produto entre
e . Para derivar em relação a ou é conveniente ver como constante (já que é independente de e ).
Passo 3
Cálculo de
com detalhamento passo a passo.
- Identificar
(a função interna do seno). - Aplicar a regra do produto, tratando
como constante:
- Aplicar a regra da cadeia para
:
- Calcular
. Como , e é tratado como constante ao derivar em ,
- Juntando tudo:
- Simplificando a escrita:
Passo 4
Cálculo de
com detalhamento.
- Novamente,
. - Pelo mesmo raciocínio (tratando
como constante):
- Calcular
. Como e é constante ao derivar em ,
- Substituindo:
- Simplificando:
Passo 5
Cálculo de
com detalhamento.
- Aqui a dependência é direta:
. Agora é constante em relação a . - Aplicar a regra do produto (ou simplesmente a derivada de
multiplicada pela constante):
Passo 6
Resumo das componentes parciais calculadas (aqui listadas separadamente para checagem):
-
. -
. -
.
Dica rápida para a prova: identifique qual fator depende da variável que você vai derivar; trate os outros como constantes, use produto + cadeia quando necessário, e calcule a derivada da parte interna (aquilo que chamei de
). Respire fundo e vá fazendo componente por componente — funciona sempre.