Questão 5. (3pts) Encontre o Gradiente, \nabla f, da função
f(x, y, z)=z^{2} \operatorname{sen}\left(x^{2} y^{3}\right) .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o gradiente, \nabla f, da função fornecida. Os dados do problema são:
  • A função é f(x,y,z)=z^{2}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}y^{3}\bigr).
  • A tarefa: calcular o vetor gradiente \nabla f, isto é, as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}.

Passo 2

O que é cada derivada parcial e quais regras vamos usar (aula rápida e prática).
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando apenas x varia e y,z ficam fixos.
  • Regras que vamos aplicar:
    1. Regra do produto: se f(x,y,z)=g(x,y,z)\cdot h(x,y,z), então \dfrac{\partial f}{\partial x}= \dfrac{\partial g}{\partial x}\,h + g\,\dfrac{\partial h}{\partial x}.
    2. Regra da cadeia: se temos uma composição \operatorname{sen}(u(x)), então \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(u)=\operatorname{cos}(u)\cdot u'.
  • Na nossa função, pense nela como produto entre z^{2} e \operatorname{sen}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr). Para derivar em relação a x ou y é conveniente ver z^{2} como constante (já que z é independente de x e y).

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} com detalhamento passo a passo.
  1. Identificar u(x,y)=x^{2}y^{3} (a função interna do seno).
  2. Aplicar a regra do produto, tratando z^{2} como constante:
\frac{\partial f}{\partial x}=z^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}\!\bigl(u(x,y)\bigr).
  1. Aplicar a regra da cadeia para \operatorname{sen}(u):
\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}\!\bigl(u(x,y)\bigr)=\operatorname{cos}\!\bigl(u(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
  1. Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x}. Como u(x,y)=x^{2}y^{3}, e y é tratado como constante ao derivar em x,
\frac{\partial u}{\partial x}=2x\,y^{3}.
  1. Juntando tudo:
\frac{\partial f}{\partial x}=z^{2}\cdot\operatorname{cos}\!\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)\cdot(2x\,y^{3}).
  1. Simplificando a escrita:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,y^{3}\,z^{2}\,\operatorname{cos}\!\bigl(x^{2}y^{3}\bigr).

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y} com detalhamento.
  1. Novamente, u(x,y)=x^{2}y^{3}.
  2. Pelo mesmo raciocínio (tratando z^{2} como constante):
\frac{\partial f}{\partial y}=z^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sen}\!\bigl(u(x,y)\bigr) = z^{2}\cdot\operatorname{cos}\!\bigl(u(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
  1. Calcular \dfrac{\partial u}{\partial y}. Como u=x^{2}y^{3} e x é constante ao derivar em y,
\frac{\partial u}{\partial y}=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2}.
  1. Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial y}=z^{2}\cdot\operatorname{cos}\!\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)\cdot(3x^{2}y^{2}).
  1. Simplificando:
\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}y^{2}\,z^{2}\,\operatorname{cos}\!\bigl(x^{2}y^{3}\bigr).

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial z} com detalhamento.
  1. Aqui a dependência é direta: f(z)=z^{2}\cdot\operatorname{sen}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr). Agora \operatorname{sen}(x^{2}y^{3}) é constante em relação a z.
  2. Aplicar a regra do produto (ou simplesmente a derivada de z^{2} multiplicada pela constante):
\frac{\partial f}{\partial z}=2z\cdot\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}y^{3}\bigr).

Passo 6

Resumo das componentes parciais calculadas (aqui listadas separadamente para checagem):
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}=2x\,y^{3}\,z^{2}\,\operatorname{cos}\!\bigl(x^{2}y^{3}\bigr).
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}y^{2}\,z^{2}\,\operatorname{cos}\!\bigl(x^{2}y^{3}\bigr).
  • \dfrac{\partial f}{\partial z}=2z\,\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}y^{3}\bigr).
Dica rápida para a prova: identifique qual fator depende da variável que você vai derivar; trate os outros como constantes, use produto + cadeia quando necessário, e calcule a derivada da parte interna (aquilo que chamei de u). Respire fundo e vá fazendo componente por componente — funciona sempre.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\left(2x\,y^{3}\,z^{2}\,\operatorname{cos}\!\bigl(x^{2}y^{3}\bigr),\;3x^{2}y^{2}\,z^{2}\,\operatorname{cos}\!\bigl(x^{2}y^{3}\bigr),\;2z\,\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)\right)

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