Exercício 2.7 Determine a resposta ao degrau unitário
de um filtro passa-baixas RC de primeira ordem, assumindo condições iniciais nulas, sabendo que a constante de tempo do circuito é
.
Passo 1
O enunciado pede a resposta ao degrau unitário
de um filtro passa-baixas RC de primeira ordem, com condições iniciais nulas e constante de tempo
.
Informações dadas:
- Excitação: degrau unitário
. - Condições iniciais nulas: tensão inicial no capacitor
. - Constante de tempo do circuito:
O que se pede:
- Encontrar
para todo (tipicamente o resultado é uma função peça-por-peça: antes e depois do acionamento do degrau).
Passo 2
Modelo físico e equação diferencial do circuito (passo-a-passo, sem pular etapas).
Descrição do circuito: um resistor
em série com um capacitor
, com a entrada aplicada à série
–
e a saída tomada na tensão do capacitor
.
Aplicando as leis básicas:
- A corrente no capacitor é
. - A mesma corrente passa pelo resistor, e a tensão no resistor é
. Pela lei de Ohm, .
Igualando:
Definindo a constante de tempo
, reorganizamos a equação:
Explicação do significado:
- O termo
representa a resposta dinâmica do capacitor (inércia elétrica); quanto maior , mais lenta a variação de . - O termo
representa a tendência da saída em acompanhar a entrada. - Para entrada constante, o circuito tende para um regime estacionário onde
(ganho DC igual a 1, característico de um passa-baixas ideal sem atenuação DC).
Passo 3
Resolver a equação diferencial para entrada degrau unitário. Colocando
e focando no intervalo
:
A equação para
fica
Método: solução geral = solução homogênea + solução particular.
- Solução homogênea (equação associada sem o termo de entrada):
Separando variáveis:
Integrando:
onde
é constante a determinar pelas condições iniciais.
- Solução particular (procuramos uma solução constante porque a entrada é constante):
Assumirpara algum constante. Substituindo na equação:
Logo a solução particular é
.
Portanto a solução geral para
é
com
desconhecida ainda.
Passo 4
Aplicar a condição inicial (condições iniciais nulas) para determinar
.
Como o circuito está em repouso antes do degrau, tem-se
. A tensão do capacitor não apresenta salto instantâneo além do que a equação do circuito permite; com excitação degenerada no instante
e componentes ideais, tomamos
.
Avaliar a solução geral em
:
Impor
dá
Substituindo
na solução geral obtemos a forma final da solução para
. (A expressão final com
está na seção de resposta abaixo.)
Interpretação física rápida:
- No instante
a saída começa em zero (capacitor descarregado). - A saída sobe exponencialmente e tende assintoticamente ao valor DC da entrada (que é
). - O tempo característico de subida é a constante
: após a saída alcança cerca de (ou 63,2%) do valor final.
Passo 5
Aplicando o valor numérico dado
para exemplos práticos (sem repetir a expressão final que está abaixo):
- Valor de
no tempo :
- Valor de
em :
Esses cálculos ajudam a ter intuição: em
a saída já atingiu cerca de
do valor final; em
(que é
) já está perto de
.