Exercício 1. Faça um esboço das superfícies de equações:
Passo 1
O enunciado pede: faça um esboço da superfície dada pela equação
.
Informações dadas: a equação relaciona as coordenadas ,
e
em
; aqui
é fixo em
e não há restrição sobre
e
. A tarefa é representar geometricamente (desenhar/esboçar) todos os pontos
que satisfazem
.
Informações dadas: a equação relaciona as coordenadas
Passo 2
Interpretação direta da equação: dizer
significa que a coordenada
de qualquer ponto da superfície vale sempre
. Assim,
e
podem ser quaisquer números reais. Em palavras: a superfície é o conjunto de todos os pontos com segunda coordenada igual a
.
Escrevendo isso de forma paramétrica para ver a forma mais claramente: use parâmetros e
para representar
e
. Então uma parametrização é
Escrevendo isso de forma paramétrica para ver a forma mais claramente: use parâmetros
com
e
. Isso mostra que a superfície tem duas direções livres (uma ao longo do eixo
e outra ao longo do eixo
), por isso é um plano bidimensional.
Passo 3
Vetores normais e orientação: a função cujo nível é fixado é
. O gradiente de
é
que é um vetor normal à superfície. Ou seja, a normal é paralela ao eixo
. Isso nos diz que o plano é perpendicular ao eixo
(ou, dito de outro modo, paralelo ao plano
).
Passo 4
Interseções e linhas importantes para ajudar no esboço:
- Interseção com o plano
(plano ): dados e temos a reta de equação , ou pontos — isso é uma reta paralela ao eixo situada em . - Interseção com o plano
(plano ): dá a reta , reta paralela ao eixo situada em . - Não há interseção com o plano
, porque nunca vale na superfície. - Um ponto notável é
, que é onde o plano corta a reta que tem e (ou seja, o ponto sobre o eixo com coordenada ).
Passo 5
Como esboçar passo a passo (desenho à mão, sem calculadora):
- Desenhe os três eixos coordenados: eixo
apontando para a direita, eixo para cima (ou levemente para cima e para fora do plano do papel para dar sensação 3D) e eixo apontando “para dentro/fora” (em perspectiva) — marque as setas e rótulos . - Marque no eixo
o ponto (por exemplo, um pouco acima da origem) e faça uma pequena linha horizontal nesse nível para indicar a altura. - Desenhe um plano vertical passando por toda a linha paralela ao eixo
e ao eixo que cruza o ponto marcado em . Esse plano deve parecer uma folha plana “vertical” (no sentido de que se estende para as direções e ) situada na altura . - Trace duas retas de referência no plano: uma paralela ao eixo
(por exemplo a interseção com ) e outra paralela ao eixo (por exemplo a interseção com ), ambas ao nível . Isso ajuda a visualizar que o plano é infinito nas direções e . - Opcional: desenhe setas sobre o plano nas direções
e para indicar que ele se estende indefinidamente nessas direções. Rotule o plano como .
Pontos de exemplo que você pode plotar para conferir o esboço:, , , . Todos esses devem ficar sobre o mesmo plano que você desenhou.
Passo 6
Resumo conceitual final (para memorizar na prova): a equação
define um plano paralelo ao plano
, deslocado para a posição onde a coordenada
vale
. É um plano infinito que não depende de
nem de
.
Resposta
Plano paralelo ao plano
situado em
; parametrização
.