Exercício 1. Faça um esboço das superfícies de equações:
y=3

Passo 1

O enunciado pede: faça um esboço da superfície dada pela equação \,y=3\,.
Informações dadas: a equação relaciona as coordenadas x, y e z em \mathbb{R}^3; aqui y é fixo em 3 e não há restrição sobre x e z. A tarefa é representar geometricamente (desenhar/esboçar) todos os pontos (x,y,z) que satisfazem \,y=3\,.

Passo 2

Interpretação direta da equação: dizer \,y=3\, significa que a coordenada y de qualquer ponto da superfície vale sempre 3. Assim, x e z podem ser quaisquer números reais. Em palavras: a superfície é o conjunto de todos os pontos com segunda coordenada igual a 3.
Escrevendo isso de forma paramétrica para ver a forma mais claramente: use parâmetros u e v para representar x e z. Então uma parametrização é
\mathbf{r}(u,v)=(u,3,v),
com u\in\mathbb{R} e v\in\mathbb{R}. Isso mostra que a superfície tem duas direções livres (uma ao longo do eixo x e outra ao longo do eixo z), por isso é um plano bidimensional.

Passo 3

Vetores normais e orientação: a função cujo nível é fixado é f(x,y,z)=y. O gradiente de f é
\nabla f=(0,1,0),
que é um vetor normal à superfície. Ou seja, a normal é paralela ao eixo y. Isso nos diz que o plano é perpendicular ao eixo y (ou, dito de outro modo, paralelo ao plano xz).

Passo 4

Interseções e linhas importantes para ajudar no esboço:
  • Interseção com o plano z=0 (plano xy): dados z=0 e y=3 temos a reta de equação \,y=3,\,z=0\,, ou pontos (x,3,0) — isso é uma reta paralela ao eixo x situada em y=3.
  • Interseção com o plano x=0 (plano yz): dá a reta (0,3,z), reta paralela ao eixo z situada em y=3.
  • Não há interseção com o plano y=0, porque y nunca vale 0 na superfície.
  • Um ponto notável é (0,3,0), que é onde o plano corta a reta que tem x=0 e z=0 (ou seja, o ponto sobre o eixo y com coordenada 3).

Passo 5

Como esboçar passo a passo (desenho à mão, sem calculadora):
  1. Desenhe os três eixos coordenados: eixo x apontando para a direita, eixo y para cima (ou levemente para cima e para fora do plano do papel para dar sensação 3D) e eixo z apontando “para dentro/fora” (em perspectiva) — marque as setas e rótulos x,y,z.
  2. Marque no eixo y o ponto y=3 (por exemplo, um pouco acima da origem) e faça uma pequena linha horizontal nesse nível para indicar a altura.
  3. Desenhe um plano vertical passando por toda a linha paralela ao eixo x e ao eixo z que cruza o ponto marcado em y=3. Esse plano deve parecer uma folha plana “vertical” (no sentido de que se estende para as direções x e z) situada na altura y=3.
  4. Trace duas retas de referência no plano: uma paralela ao eixo x (por exemplo a interseção com z=0) e outra paralela ao eixo z (por exemplo a interseção com x=0), ambas ao nível y=3. Isso ajuda a visualizar que o plano é infinito nas direções x e z.
  5. Opcional: desenhe setas sobre o plano nas direções x e z para indicar que ele se estende indefinidamente nessas direções. Rotule o plano como y=3.
    Pontos de exemplo que você pode plotar para conferir o esboço: (0,3,0), (1,3,0), (-2,3,4), (0,3,-1). Todos esses devem ficar sobre o mesmo plano que você desenhou.

Passo 6

Resumo conceitual final (para memorizar na prova): a equação \,y=3\, define um plano paralelo ao plano xz, deslocado para a posição onde a coordenada y vale 3. É um plano infinito que não depende de x nem de z.

Resposta

Plano paralelo ao plano xz situado em y=3; parametrização \mathbf{r}(u,v)=(u,3,v).

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