e pede encontrar a solução geral y(x).
Informações relevantes: a equação relaciona dy/dx com x e y; não há condição inicial fornecida, então procuramos a família de soluções gerais com constante arbitrária.
Passo 2
Vamos isolar \dfrac{dy}{dx} e escrever a equação de modo a separar x e y. Dividindo ambos os lados por 3(1+x^2) e por y(y^3-1) (assumindo temporariamente y\neq0 e y^3\neq1), obtemos
Agora multiplicamos por dx e escrevemos na forma separada:
\frac{dy}{y(y^3-1)}=\frac{2x}{3(1+x^2)}\,dx.
Isso significa que podemos integrar o lado esquerdo em y e o direito em x.
Passo 3
Precisamos integrar a função racional \dfrac{1}{y(y^3-1)}\) em \(y\). Para isso usamos decomposição em frações parciais. Observamos que \(y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)\). Queremos constants \(A,B,C,D\) tais que
\[\frac{1}{y(y^3-1)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{y-1}+\frac{Cy+D}{y^2+y+1}.
Multiplicando por y(y-1)(y^2+y+1)=y(y^3-1) obtemos a identidade polinomial
1=A(y^3-1)+B\,y(y^2+y+1)+(Cy+D)\,y(y-1).
Expandindo e agrupando coeficientes (passo a passo):
A(y^3-1)=A y^3 - A.
B\,y(y^2+y+1)=B y^3 + B y^2 + B y.
(Cy+D)\,y(y-1)=(Cy+D)(y^2-y)=C y^3+(D-C)y^2 - D y.
Somando:
1=(A+B+C)\,y^3 + (B+D-C)\,y^2 + (B-D)\,y - A.
Comparando coeficientes com o polinômio constante 1 (ou seja, coeficientes de y^3,y^2,y iguais a zero e termo constante igual a 1), obtemos o sistema
Da última equação vem A=-1\]. Usando \(A=-1 na primeira: -1+B+C=0\Rightarrow B+C=1. Da terceira, D=B. Substituindo D=B na segunda: B+B-C=0\Rightarrow 2B-C=0\Rightarrow C=2B. Então B+2B=1\Rightarrow 3B=1\Rightarrow B=\tfrac{1}{3}. Logo C=\tfrac{2}{3} e D=\tfrac{1}{3}.
Usando propriedades de logaritmos (soma de logs = log do produto, diferença = divisão) e definindo K=e^{3C} (constante arbitrária positiva; podemos permitir K\neq0 e estender para constantes reais arbitrárias), temos