f) 3\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}=2 x y\left(y^{3}-1\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3\left(1+x^{2}\right)\frac{dy}{dx}=2x\,y\left(y^{3}-1\right)
e pede encontrar a solução geral y(x).
Informações relevantes: a equação relaciona dy/dx com x e y; não há condição inicial fornecida, então procuramos a família de soluções gerais com constante arbitrária.

Passo 2

Vamos isolar \dfrac{dy}{dx} e escrever a equação de modo a separar x e y. Dividindo ambos os lados por 3(1+x^2) e por y(y^3-1) (assumindo temporariamente y\neq0 e y^3\neq1), obtemos
\frac{1}{y(y^3-1)}\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{3(1+x^2)}.
Agora multiplicamos por dx e escrevemos na forma separada:
\frac{dy}{y(y^3-1)}=\frac{2x}{3(1+x^2)}\,dx.
Isso significa que podemos integrar o lado esquerdo em y e o direito em x.

Passo 3

Precisamos integrar a função racional \dfrac{1}{y(y^3-1)}\) em \(y\). Para isso usamos decomposição em frações parciais. Observamos que \(y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)\). Queremos constants \(A,B,C,D\) tais que \[\frac{1}{y(y^3-1)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{y-1}+\frac{Cy+D}{y^2+y+1}.
Multiplicando por y(y-1)(y^2+y+1)=y(y^3-1) obtemos a identidade polinomial
1=A(y^3-1)+B\,y(y^2+y+1)+(Cy+D)\,y(y-1).
Expandindo e agrupando coeficientes (passo a passo):
  • A(y^3-1)=A y^3 - A.
  • B\,y(y^2+y+1)=B y^3 + B y^2 + B y.
  • (Cy+D)\,y(y-1)=(Cy+D)(y^2-y)=C y^3+(D-C)y^2 - D y.
Somando:
1=(A+B+C)\,y^3 + (B+D-C)\,y^2 + (B-D)\,y - A.
Comparando coeficientes com o polinômio constante 1 (ou seja, coeficientes de y^3,y^2,y iguais a zero e termo constante igual a 1), obtemos o sistema
\begin{cases} A+B+C=0,\\[4pt] B+D-C=0,\\[4pt] B-D=0,\\[4pt] -A=1. \end{cases}
Da última equação vem A=-1\]. Usando \(A=-1 na primeira: -1+B+C=0\Rightarrow B+C=1. Da terceira, D=B. Substituindo D=B na segunda: B+B-C=0\Rightarrow 2B-C=0\Rightarrow C=2B. Então B+2B=1\Rightarrow 3B=1\Rightarrow B=\tfrac{1}{3}. Logo C=\tfrac{2}{3} e D=\tfrac{1}{3}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{y(y^3-1)}=-\frac{1}{y}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{y-1}+\frac{1}{3}\cdot\frac{2y+1}{y^2+y+1}.]

Passo 4

Agora integramos o lado esquerdo termo a termo. Escrevo a integral completa:
\int\frac{dy}{y(y^3-1)}=\int\left(-\frac{1}{y}+\frac{1}{3}\frac{1}{y-1}+\frac{1}{3}\frac{2y+1}{y^2+y+1}\right)dy.
Integramos cada parcela:
  • \displaystyle\int -\frac{1}{y}\,dy=-\ln|y|.
  • \displaystyle\int \frac{1}{3}\frac{1}{y-1}\,dy=\frac{1}{3}\ln|y-1|.
  • Para a última, note que y^2+y+1 tem derivada 2y+1. Logo
\int \frac{1}{3}\frac{2y+1}{y^2+y+1}\,dy=\frac{1}{3}\int\frac{d(y^2+y+1)}{y^2+y+1}=\frac{1}{3}\ln\bigl(y^2+y+1\bigr).
Somando os resultados:
\int\frac{dy}{y(y^3-1)}=-\ln|y|+\frac{1}{3}\ln|y-1|+\frac{1}{3}\ln\bigl(y^2+y+1\bigr)+C_1,
onde C_1 é constante de integração.

Passo 5

Integramos o lado direito \displaystyle\int\frac{2x}{3(1+x^2)}\,dx. Observamos que a derivada de 1+x^2 é 2x, então fazemos a substituição direta:
\int\frac{2x}{3(1+x^2)}\,dx=\frac{2}{3}\int\frac{x}{1+x^2}\,dx=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\ln(1+x^2)=\frac{1}{3}\ln(1+x^2)+C_2.

Passo 6

Igualando as duas integrais (absorvendo constantes C_1 e C_2 numa única constante C), obtemos
-\ln|y|+\frac{1}{3}\ln|y-1|+\frac{1}{3}\ln\bigl(y^2+y+1\bigr)=\frac{1}{3}\ln(1+x^2)+C.
Multiplicando ambos os lados por 3 para limpar os terços:
-3\ln|y|+\ln|y-1|+\ln\bigl(y^2+y+1\bigr)=\ln(1+x^2)+3C.
Usando propriedades de logaritmos (soma de logs = log do produto, diferença = divisão) e definindo K=e^{3C} (constante arbitrária positiva; podemos permitir K\neq0 e estender para constantes reais arbitrárias), temos
\ln\!\left(\frac{(y-1)(y^2+y+1)}{y^3}\right)=\ln\!\bigl(K(1+x^2)\bigr).
Tirando exponencial dos dois lados:
\frac{(y-1)(y^2+y+1)}{y^3}=K(1+x^2).
Mas (y-1)(y^2+y+1)=y^3-1, então a forma mais simples é
\frac{y^3-1}{y^3}=K(1+x^2).

Passo 7

A partir de \dfrac{y^3-1}{y^3}=K(1+x^2) resolvemos para y^3. Reescrevendo:
1-\frac{1}{y^3}=K(1+x^2)\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{y^3}=1-K(1+x^2).
Então
y^3=\frac{1}{1-K(1+x^2)}.
Definindo novamente a constante arbitrária (pode-se trocar o sinal ou nome, mas ela permanece arbitrária), escrevemos a solução geral como
y(x)=\left(1-K(1+x^2)\right)^{-1/3},
onde K é constante arbitrária tal que o denominador não zere (casos singulares y=0 ou y^3=1 exigem tratamento separado se for preciso).

Resposta

y(x)=\left(1-K(1+x^2)\right)^{-1/3},\quad K\\ \text{constante arbitrária.}á

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