Exercício 3. Considere g(x, y)=4 x^{2}+9 y^{2}. Construa as curvas de nível para os valores k=0, k=1, k=4, k=9 em um mapa de contorno.

Passo 1

O enunciado dá a função g(x,y)=4x^{2}+9y^{2} e pede para construir as curvas de nível (mapa de contorno) para os valores k=0,\;k=1,\;k=4,\;k=9. \n
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
  • A função é g(x,y)=4x^{2}+9y^{2}. \n
  • As curvas de nível são os conjuntos de pontos (x,y) que satisfazem g(x,y)=k. \n
  • Devemos tratar separadamente cada valor de k pedido: 0,1,4,9. \n
    (Pronto — agora sabemos exatamente o que foi pedido e quais dados temos. A resolução começa no Passo 2.)

Passo 2

O que é uma curva de nível? \n
Definição prática: para uma função g(x,y), a curva de nível associada a um número k é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid g(x,y)=k\}.
Na prática, para cada k a gente resolve a equação g(x,y)=k e obtém uma equação no plano xy que descreve a curva (ou ponto, ou vazio). No nosso caso, vamos resolver
4x^{2}+9y^{2}=k
para cada k dado.

Passo 3

Transformando a equação geral numa forma conhecida (padrão de elipse). \n
Se k>0, dividindo ambos os lados por k obtemos
\frac{4x^{2}}{k}+\frac{9y^{2}}{k}=1.
Reescrevendo em forma padrão de elipse \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, note que
\frac{x^{2}}{k/4}+\frac{y^{2}}{k/9}=1.
Logo, para k>0 a curva de nível é uma elipse centrada na origem com semi-eixos
a=\sqrt{\frac{k}{4}}=\frac{\sqrt{k}}{2},\qquad b=\sqrt{\frac{k}{9}}=\frac{\sqrt{k}}{3}.
Se k=0, a equação 4x^{2}+9y^{2}=0 só é satisfeita por x=0 e y=0, ou seja, um único ponto (0,0). Se k<0 não existe ponto real (mas não é o nosso caso).

Passo 4

Interpretação geométrica e como desenhar na prova. \n
  • Cada curva 4x^{2}+9y^{2}=k (para k>0) é uma elipse alinhada com os eixos coordenados (não rotacionada), porque os termos x^{2} e y^{2} aparecem separados e sem termo cruzado xy. \n
  • Os interceptos com os eixos são fáceis de achar: tomar y=0 x=\pm a, tomar x=0 y=\pm b. \n
  • Uma maneira prática de desenhar cada elipse: marcar os interceptos (\pm a,0) e (0,\pm b) e desenhar uma elipse passando por esses quatro pontos. Outra forma (mais precisa) é usar a parametrização
x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,\qquad t\in[0,2\pi],
que descreve a elipse completa.

Passo 5

Curva de nível para k=0. \n
Substituindo k=0 em 4x^{2}+9y^{2}=0 temos a única solução
(x,y)=(0,0).
Portanto para k=0 a “curva de nível” é apenas o ponto central (0,0).

Passo 6

Curva de nível para k=1. \n
A equação é
4x^{2}+9y^{2}=1.
Usando as fórmulas de a e b:
a=\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2},\qquad b=\frac{\sqrt{1}}{3}=\frac{1}{3}.
Interceptos: (\pm\tfrac{1}{2},0) e (0,\pm\tfrac{1}{3}). Parametrização útil para desenhar:
x=\tfrac{1}{2}\cos t,\qquad y=\tfrac{1}{3}\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Dica de prova: marque esses interceptos e desenhe a elipse pequena ao redor da origem; rotule como nível k=1.

Passo 7

Curva de nível para k=4. \n
A equação é
4x^{2}+9y^{2}=4.
Calculando os semi-eixos:
a=\frac{\sqrt{4}}{2}=\frac{2}{2}=1,\qquad b=\frac{\sqrt{4}}{3}=\frac{2}{3}.
Interceptos: (\pm1,0) e (0,\pm\tfrac{2}{3}). Parametrização:
x=\cos t,\qquad y=\tfrac{2}{3}\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
No mapa de contorno essa elipse é maior que a de k=1, centrada na origem.

Passo 8

Curva de nível para k=9. \n
A equação é
4x^{2}+9y^{2}=9.
Semi-eixos:
a=\frac{\sqrt{9}}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5,\qquad b=\frac{\sqrt{9}}{3}=\frac{3}{3}=1.
Interceptos: (\pm\tfrac{3}{2},0) e (0,\pm1). Parametrização:
x=\tfrac{3}{2}\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Esta é a maior elipse pedida.

Passo 9

Como montar o mapa de contorno final (instruções passo a passo para a prova). \n
  1. Faça um sistema de eixos coordenados e marque a origem. \n
  2. Para k=0 marque apenas o ponto (0,0). \n
  3. Para cada k>0 marque os interceptos (\pm a,0) e (0,\pm b) usando os valores de a e b calculados nos passos anteriores. \n
  4. Desenhe elipses suaves passando por esses pontos; elipses maiores correspondem a k maiores. \n
  5. Rotule cada curva com o valor correspondente de k (por ex. “1”, “4”, “9”) para formar o mapa de contorno. \n
    Observação prática: se estiver fazendo à mão, conectar os quatro interceptos com uma curva elíptica suave dá um bom esboço; se tiver calculadora gráfica ou software, use a parametrização ou trace diretamente 4x^{2}+9y^{2}=k.

Resposta

k=0:\\ (0,0). \n
k=1:\\\ 4x^{2}+9y^{2}=1, elipse com semi-eixos a=\tfrac{1}{2},\\ b=\tfrac{1}{3} (interceptos (\pm\tfrac{1}{2},0),\\ (0,\pm\tfrac{1}{3})). \n
k=4:\\\ 4x^{2}+9y^{2}=4, elipse com semi-eixos a=1,\\ b=\tfrac{2}{3} (interceptos (\pm1,0),\\ (0,\pm\tfrac{2}{3})). \n
k=9:\\\ 4x^{2}+9y^{2}=9, elipse com semi-eixos a=\tfrac{3}{2},\\ b=1 (interceptos (\pm\tfrac{3}{2},0),\\ (0,\pm1)).

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