Exercício 3. Considere
. Construa as curvas de nível para os valores
em um mapa de contorno.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para construir as curvas de nível (mapa de contorno) para os valores
. \n
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
- A função é
. \n - As curvas de nível são os conjuntos de pontos
que satisfazem . \n - Devemos tratar separadamente cada valor de
pedido: . \n
(Pronto — agora sabemos exatamente o que foi pedido e quais dados temos. A resolução começa no Passo 2.)
Passo 2
O que é uma curva de nível? \n
Definição prática: para uma função , a curva de nível associada a um número
é o conjunto
Definição prática: para uma função
Na prática, para cada
a gente resolve a equação
e obtém uma equação no plano
que descreve a curva (ou ponto, ou vazio). No nosso caso, vamos resolver
para cada
dado.
Passo 3
Transformando a equação geral numa forma conhecida (padrão de elipse). \n
Se , dividindo ambos os lados por
obtemos
Se
Reescrevendo em forma padrão de elipse
, note que
Logo, para
a curva de nível é uma elipse centrada na origem com semi-eixos
Se
, a equação
só é satisfeita por
e
, ou seja, um único ponto
. Se
não existe ponto real (mas não é o nosso caso).
Passo 4
Interpretação geométrica e como desenhar na prova. \n
- Cada curva
(para ) é uma elipse alinhada com os eixos coordenados (não rotacionada), porque os termos e aparecem separados e sem termo cruzado . \n - Os interceptos com os eixos são fáceis de achar: tomar
dá , tomar dá . \n - Uma maneira prática de desenhar cada elipse: marcar os interceptos
e e desenhar uma elipse passando por esses quatro pontos. Outra forma (mais precisa) é usar a parametrização
que descreve a elipse completa.
Passo 5
Curva de nível para
. \n
Substituindo em
temos a única solução
Substituindo
Portanto para
a “curva de nível” é apenas o ponto central
.
Passo 6
Curva de nível para
. \n
A equação é
A equação é
Usando as fórmulas de
e
:
Interceptos:
e
. Parametrização útil para desenhar:
Dica de prova: marque esses interceptos e desenhe a elipse pequena ao redor da origem; rotule como nível
.
Passo 7
Curva de nível para
. \n
A equação é
A equação é
Calculando os semi-eixos:
Interceptos:
e
. Parametrização:
No mapa de contorno essa elipse é maior que a de
, centrada na origem.
Passo 8
Curva de nível para
. \n
A equação é
A equação é
Semi-eixos:
Interceptos:
e
. Parametrização:
Esta é a maior elipse pedida.
Passo 9
Como montar o mapa de contorno final (instruções passo a passo para a prova). \n
- Faça um sistema de eixos coordenados e marque a origem. \n
- Para
marque apenas o ponto . \n - Para cada
marque os interceptos e usando os valores de e calculados nos passos anteriores. \n - Desenhe elipses suaves passando por esses pontos; elipses maiores correspondem a
maiores. \n - Rotule cada curva com o valor correspondente de
(por ex. “1”, “4”, “9”) para formar o mapa de contorno. \n
Observação prática: se estiver fazendo à mão, conectar os quatro interceptos com uma curva elíptica suave dá um bom esboço; se tiver calculadora gráfica ou software, use a parametrização ou trace diretamente.