Exercício para fazer em sala: Mostre que o tensor vorticidade: \omega_{i}=\epsilon_{i j k} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{j}} pode ser expresso em notação vetorial como \vec{\omega}=\vec{\nabla} \times \vec{u} posto que o tensor alternante \epsilon_{i j k} é definido como:
\epsilon_{i j k}=\left\{\begin{aligned} 1 & \text { se } i j k=123,231,312 \\\\ 0 & \text { se quaisquer dois índices forem iguais, } \\\\ -1 & \text { se } i j k=321,213,132 \end{aligned}\right.í

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a expressão componente
\omega_{i}=\epsilon_{i j k}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{j}}
é equivalente à expressão vetorial
\vec{\omega}=\vec{\nabla}\times\vec{u}.
Informações dadas e notação: \epsilon_{i j k} é o tensor alternante (Levi-Civita) definido no enunciado; \vec{u} é um campo vetorial com componentes \(u_{1},u_{2},u_{3}) (ou u_{k} em notação por índices); as coordenadas espaciais são \(x_{1},x_{2},x_{3}). Também vale a convenção de soma de Einstein: índices repetidos implicam soma sobre 1,2,3. A tarefa é provar igualdade componente a componente.

Passo 2

Breve aula sobre a convenção e o tensor \epsilon_{i j k}. Quando aparece uma expressão com índices repetidos, por exemplo \epsilon_{i j k}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{j}}, isso significa
\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{i j k}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{j}}.
O tensor \epsilon_{i j k} é antissimétrico: se quaisquer dois índices são iguais então \epsilon_{i j k}=0; permutações pares de (1,2,3) dão +1 e permutações ímpares dão -1. Na prática, para um i fixo só duas combinações de (j,k) dão contribuição não nula — isso facilita bastante as contas.

Passo 3

Calculemos a componente \omega_{1} explicitamente. Para i=1 temos
\omega_{1}=\epsilon_{1 j k}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{j}}.
Os pares (j,k) que tornam \epsilon_{1 j k} não nulo são (2,3) com \epsilon_{123}=1 e (3,2) com \epsilon_{132}=-1. Logo
\omega_{1}=\epsilon_{123}\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{2}}+\epsilon_{132}\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}} =1\cdot\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{2}}+(-1)\cdot\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}}
e portanto
\omega_{1}=\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}}.

Passo 4

Calculemos a componente \omega_{2}. Para i=2 temos
\omega_{2}=\epsilon_{2 j k}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{j}}.
Os pares não nulos são (3,1) com \epsilon_{231}=1 e (1,3) com \epsilon_{213}=-1. Assim
\omega_{2}=\epsilon_{231}\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{3}}+\epsilon_{213}\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{1}} =1\cdot\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{3}}+(-1)\cdot\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{1}}
e portanto
\omega_{2}=\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{1}}.

Passo 5

Calculemos a componente \omega_{3}. Para i=3 temos
\omega_{3}=\epsilon_{3 j k}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{j}}.
Os pares não nulos são (1,2) com \epsilon_{312}=1 e (2,1) com \epsilon_{321}=-1. Portanto
\omega_{3}=\epsilon_{312}\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}+\epsilon_{321}\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}} =1\cdot\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}+(-1)\cdot\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}
e assim
\omega_{3}=\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}.

Passo 6

Agora relembrando a definição em componentes do operador vetorial \vec{\nabla}\times\vec{u}: as componentes são
(\vec{\nabla}\times\vec{u})_{1}=\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}},
(\vec{\nabla}\times\vec{u})_{2}=\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{1}},
(\vec{\nabla}\times\vec{u})_{3}=\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}.
Comparando com os resultados dos passos anteriores vemos que, componente a componente,
\omega_{i}=(\vec{\nabla}\times\vec{u})_{i}\quad\text{para }i=1,2,3.
Portanto os vetores são iguais: \vec{\omega}=\vec{\nabla}\times\vec{u}.

Passo 7

Um exemplo rápido para fixar (mini-exercício): tome \(u_{1}=-x_{2},\;u_{2}=x_{1},\;u_{3}=0). Usando a fórmula por índices,
\omega_{3}=\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}=\frac{\partial x_{1}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial(-x_{2})}{\partial x_{2}}=1-(-1)=2,
enquanto \omega_{1}=\omega_{2}=0. Isso bate com o cálculo direto de \vec{\nabla}\times\vec{u}, reforçando que a identidade componente a componente funciona na prática.

Resposta

\vec{\omega}=\vec{\nabla}\times\vec{u}

Exercícios relacionados