Exercício para fazer em sala: Mostre que o tensor vorticidade: \omega_{i}=\epsilon_{i j k} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{j}} pode ser expresso em notação vetorial como \vec{\omega}=\vec{\nabla} \times \vec{u} posto que o tensor alternante \epsilon_{i j k} é definido como:
\epsilon_{i j k}=\left\{\begin{aligned}
1 & \text { se } i j k=123,231,312 \\\\ 0 & \text { se quaisquer dois índices forem iguais, } \\\\ -1 & \text { se } i j k=321,213,132
\end{aligned}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a expressão componente
Informações dadas e notação: \epsilon_{i j k} é o tensor alternante (Levi-Civita) definido no enunciado; \vec{u} é um campo vetorial com componentes \(u_{1},u_{2},u_{3}) (ou u_{k} em notação por índices); as coordenadas espaciais são \(x_{1},x_{2},x_{3}). Também vale a convenção de soma de Einstein: índices repetidos implicam soma sobre 1,2,3. A tarefa é provar igualdade componente a componente.
Passo 2
Breve aula sobre a convenção e o tensor \epsilon_{i j k}. Quando aparece uma expressão com índices repetidos, por exemplo \epsilon_{i j k}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{j}}, isso significa
O tensor \epsilon_{i j k} é antissimétrico: se quaisquer dois índices são iguais então \epsilon_{i j k}=0; permutações pares de (1,2,3) dão +1 e permutações ímpares dão -1. Na prática, para um i fixo só duas combinações de (j,k) dão contribuição não nula — isso facilita bastante as contas.
Passo 3
Calculemos a componente \omega_{1} explicitamente. Para i=1 temos
enquanto \omega_{1}=\omega_{2}=0. Isso bate com o cálculo direto de \vec{\nabla}\times\vec{u}, reforçando que a identidade componente a componente funciona na prática.