Um rio de calha aproximadamente retangular com 5 m de largura tem a cota de vazão nula igual a
. Mediu-se a vazão do rio para 8 cotas, conforme tabela abaixo. Construa os gráficos do método de Stevens para extrapolação, utilizando a fórmula de Manning. Estimar a vazão para as cotas indicadas na tabela.
Cota
Vazão
Cota
Vazão
Cota
Vazão
1,0
5,41
1,7
20,02
2,5
42,55
1,2
9,25
2
27,55
3,5
1,5
16,1
2,25
36,45
4,0
| Cota
|
Vazão
|
Cota
|
Vazão
|
Cota
|
Vazão
|
| 1,0 | 5,41 | 1,7 | 20,02 | 2,5 | 42,55 |
| 1,2 | 9,25 | 2 | 27,55 | 3,5 |
|
| 1,5 | 16,1 | 2,25 | 36,45 | 4,0 |
|
Passo 1
O enunciado dá um canal de seção aproximadamente retangular com largura
e cota de vazão nula igual a
. Foram medidas vazões para várias cotas; a tabela nos dá as cotas e as vazões correspondentes, e precisamos estimar as vazões que estão faltando para as cotas
e
. Vou listar os dados fornecidos (retirados do enunciado):
Observação (importante para a resolução): a profundidade efetiva da água (chamarei de profundidade
) é a cota medida menos a cota de vazão nula; isto é, para cada cota
temos
Passo 2
Explicando a fórmula que vamos usar (Manning) e o princípio do método de Stevens (didático e simples):
- A fórmula de Manning relaciona vazão
com características geométricas e o atrito:
onde:
-
é a vazão ( ); -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional); -
é a área molhada ( ); -
é o raio hidráulico ( ), definido por , com o perímetro molhado ( ); -
é a declividade da linha de energia (adimensional). -
Se a declividade
e o rugosidade se mantêm aproximadamente constantes para todas as medições, podemos escrever
onde definimos
e
- O método de Stevens, em essência, consiste em calcular
para cada medida e ajustar uma reta forçada a passar pela origem. Graficamente seria traçar em função de e encontrar a inclinação . Numericamente, a inclinação ótima em mínimos quadrados, com intercepto zero, é
Depois de obter
usamos
para extrapolar.
Vou ensinar como calcular
,
,
e
para um canal retangular e em seguida aplicar a fórmula acima.
Passo 3
Fórmulas geométricas para o canal retangular de largura
e profundidade
:
- Área molhada:
- Perímetro molhado:
- Raio hidráulico:
- Função
que entra na Manning:
No nosso caso
. Em cada cota calculamos
, depois
.
Passo 4
Calcular
,
,
,
e
para cada medição conhecida (vou mostrar os cálculos e os valores aproximados). Todos os números abaixo estão arredondados a 3 algarismos significativos quando apropriado.
- Para cota
:
(onde calculei
.)
- Para cota
:
- Para cota
:
- Para cota
:
- Para cota
:
- Para cota
:
- Para cota
:
Resumo dos pares
(valores aproximados):
Passo 5
Calcular a constante
por mínimos quadrados (regressão linear forçada pela origem). A fórmula, lembrando, é
Vou calcular as somas pedidas usando os valores aproximados acima (faço os produtos e quadrados e somo):
- Produtos
(aprox.):
Somando:
- Quadrados
(aprox.):
Somando:
Portanto:
Interpretação:
representa
. Não precisamos separar
e
; basta essa constante para extrapolar via Manning.
Passo 6
Agora calculamos
para as cotas onde faltam as vazões e estimamos
por
Calcular para cota
:
Calcular para cota
:
Passo 7
Breve comentário didático final: o método de Stevens aqui foi aplicado linearizando a equação de Manning na forma
e obtendo
por ajuste forçado à origem. Isso faz sentido quando
e
são razoavelmente constantes. Os valores obtidos são aproximações (arredondei intermediários); o procedimento em prova pode ser feito com uma calculadora para obter maior precisão. Resistência do canal, variações locais de seção e de declividade podem causar desvios na prática, mas essa é a forma recomendada para extrapolar com Manning a partir de medições.