Um rio de calha aproximadamente retangular com 5 m de largura tem a cota de vazão nula igual a 0,5 \mathrm{~m}. Mediu-se a vazão do rio para 8 cotas, conforme tabela abaixo. Construa os gráficos do método de Stevens para extrapolação, utilizando a fórmula de Manning. Estimar a vazão para as cotas indicadas na tabela.
Cota (\mathrm{m}) Vazão \left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}\right) Cota (\mathrm{m}) Vazão \left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}\right) Cota (\mathrm{m}) Vazão \left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}\right)
1,0 5,41 1,7 20,02 2,5 42,55
1,2 9,25 2 27,55 3,5 ?
1,5 16,1 2,25 36,45 4,0 ?

Passo 1

O enunciado dá um canal de seção aproximadamente retangular com largura 5\\ \mathrm{m} e cota de vazão nula igual a 0,5\\ \mathrm{m}. Foram medidas vazões para várias cotas; a tabela nos dá as cotas e as vazões correspondentes, e precisamos estimar as vazões que estão faltando para as cotas 3,5\\ \mathrm{m} e 4,0\\ \mathrm{m}. Vou listar os dados fornecidos (retirados do enunciado):
\begin{aligned} &\text{cota }1{,}0\\ \mathrm{m} \Rightarrow Q=5{,}41\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\text{cota }1{,}2\\ \mathrm{m} \Rightarrow Q=9{,}25\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\text{cota }1{,}5\\ \mathrm{m} \Rightarrow Q=16{,}10\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\text{cota }1{,}7\\ \mathrm{m} \Rightarrow Q=20{,}02\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\text{cota }2{,}0\\ \mathrm{m} \Rightarrow Q=27{,}55\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\text{cota }2{,}25\\ \mathrm{m} \Rightarrow Q=36{,}45\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\text{cota }2{,}5\\ \mathrm{m} \Rightarrow Q=42{,}55\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\text{cota }3{,}5\\ \mathrm{m} \Rightarrow Q=\\ ?\\ ,\\\ &\text{cota }4{,}0\\ \mathrm{m} \Rightarrow Q=\\ ?\\ . \end{aligned}
Observação (importante para a resolução): a profundidade efetiva da água (chamarei de profundidade h) é a cota medida menos a cota de vazão nula; isto é, para cada cota z temos
h = z - 0{,}5.

Passo 2

Explicando a fórmula que vamos usar (Manning) e o princípio do método de Stevens (didático e simples):
  • A fórmula de Manning relaciona vazão Q com características geométricas e o atrito:
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional);
  • A é a área molhada ( \mathrm{m^2});
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R = \dfrac{A}{P}, com P o perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S é a declividade da linha de energia (adimensional).
  • Se a declividade S e o rugosidade n se mantêm aproximadamente constantes para todas as medições, podemos escrever
Q = C\cdot K(h),
onde definimos
C = \frac{S^{1/2}}{n}\quad\text{(constante desconhecida)}
e
K(h) = A(h)\,R(h)^{2/3}\quad\text{(conhecido a partir da geometria para cada profundidade \(h\))}.
  • O método de Stevens, em essência, consiste em calcular K(h) para cada medida e ajustar uma reta Q = C\cdot K forçada a passar pela origem. Graficamente seria traçar Q em função de K e encontrar a inclinação C. Numericamente, a inclinação ótima em mínimos quadrados, com intercepto zero, é
C = \frac{\sum_i Q_i\,K_i}{\sum_i K_i^2}.
Depois de obter C usamos Q_{\text{estimado}} = C\cdot K(h_{\text{novo}}) para extrapolar.
Vou ensinar como calcular A, P, R e K para um canal retangular e em seguida aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Fórmulas geométricas para o canal retangular de largura b e profundidade h:
  • Área molhada:
A(h) = b\cdot h.
  • Perímetro molhado:
P(h) = b + 2h.
  • Raio hidráulico:
R(h) = \frac{A(h)}{P(h)} = \frac{b\,h}{b+2h}.
  • Função K(h) que entra na Manning:
K(h) = A(h)\,R(h)^{2/3} = b\,h\left(\frac{b\,h}{b+2h}\right)^{2/3}.
No nosso caso b = 5\\ \mathrm{m}. Em cada cota calculamos h = z - 0{,}5, depois A,P,R,K.

Passo 4

Calcular h, A, P, R e K para cada medição conhecida (vou mostrar os cálculos e os valores aproximados). Todos os números abaixo estão arredondados a 3 algarismos significativos quando apropriado.
  1. Para cota 1{,}0\\ \mathrm{m}:
h = 1{,}0 - 0{,}5 = 0{,}5\\ \mathrm{m}.
A = 5\cdot 0{,}5 = 2{,}5\\ \mathrm{m^2}.
P = 5 + 2\cdot 0{,}5 = 6{,}0\\ \mathrm{m}.
R = \frac{2{,}5}{6{,}0} \approx 0{,}4167\\ \mathrm{m}.
K = A\,R^{2/3} \approx 2{,}5 \times 0{,}556 \approx 1{,}39.
(onde calculei R^{2/3}\approx 0{,}556.)
  1. Para cota 1{,}2\\ \mathrm{m}:
h = 0{,}7\\ \mathrm{m},\quad A=3{,}5,\; P=6{,}4,\; R\approx 0{,}5469.
R^{2/3}\approx 0{,}669,\quad K\approx 3{,}5\times0{,}669\approx 2{,}34.
  1. Para cota 1{,}5\\ \mathrm{m}:
h=1{,}0\\ \mathrm{m},\quad A=5{,}0,\; P=7{,}0,\; R\approx 0{,}7143.
R^{2/3}\approx 0{,}800,\quad K\approx 5{,}0\times0{,}800\approx 4{,}00.
  1. Para cota 1{,}7\\ \mathrm{m}:
h=1{,}2\\ \mathrm{m},\quad A=6{,}0,\; P=7{,}4,\; R\approx 0{,}8108.
R^{2/3}\approx 0{,}870,\quad K\approx 6{,}0\times0{,}870\approx 5{,}22.
  1. Para cota 2{,}0\\ \mathrm{m}:
h=1{,}5\\ \mathrm{m},\quad A=7{,}5,\; P=8{,}0,\; R=0{,}9375.
R^{2/3}\approx 0{,}958,\quad K\approx 7{,}5\times0{,}958\approx 7{,}19.
  1. Para cota 2{,}25\\ \mathrm{m}:
h=1{,}75\\ \mathrm{m},\quad A=8{,}75,\; P=8{,}5,\; R\approx 1{,}0294.
R^{2/3}\approx 1{,}0195,\quad K\approx 8{,}75\times1{,}0195\approx 8{,}91.
  1. Para cota 2{,}5\\ \mathrm{m}:
h=2{,}0\\ \mathrm{m},\quad A=10{,}0,\; P=9{,}0,\; R\approx 1{,}1111.
R^{2/3}\approx 1{,}0724,\quad K\approx 10{,}0\times1{,}0724\approx 10{,}72.
Resumo dos pares (K_i,Q_i) (valores aproximados):
\begin{aligned} &(1{,}39,\;5{,}41),\\\ &(2{,}34,\;9{,}25),\\\ &(4{,}00,\;16{,}10),\\\ &(5{,}22,\;20{,}02),\\\ &(7{,}19,\;27{,}55),\\\ &(8{,}91,\;36{,}45),\\\ &(10{,}72,\;42{,}55). \end{aligned}

Passo 5

Calcular a constante C por mínimos quadrados (regressão linear forçada pela origem). A fórmula, lembrando, é
C = \frac{\sum_{i} Q_i\,K_i}{\sum_{i} K_i^2}.
Vou calcular as somas pedidas usando os valores aproximados acima (faço os produtos e quadrados e somo):
  • Produtos Q_i K_i (aprox.):
\begin{aligned} &5{,}41\times1{,}39 \approx 7{,}52,\\\ &9{,}25\times2{,}34 \approx 21{,}65,\\\ &16{,}10\times4{,}00 \approx 64{,}40,\\\ &20{,}02\times5{,}22 \approx 104{,}48,\\\ &27{,}55\times7{,}19 \approx 198{,}09,\\\ &36{,}45\times8{,}91 \approx 324{,}97,\\\ &42{,}55\times10{,}72 \approx 456{,}40. \end{aligned}
Somando:
\sum_i Q_i K_i \approx 7{,}52 + 21{,}65 + 64{,}40 + 104{,}48 + 198{,}09 + 324{,}97 + 456{,}40 \approx 1\,177{,}51.
  • Quadrados K_i^2 (aprox.):
\begin{aligned} &1{,}39^2 \approx 1{,}93,\\\ &2{,}34^2 \approx 5{,}48,\\\ &4{,}00^2 \approx 16{,}00,\\\ &5{,}22^2 \approx 27{,}23,\\\ &7{,}19^2 \approx 51{,}65,\\\ &8{,}91^2 \approx 79{,}45,\\\ &10{,}72^2 \approx 114{,}97. \end{aligned}
Somando:
\sum_i K_i^2 \approx 1{,}93 + 5{,}48 + 16{,}00 + 27{,}23 + 51{,}65 + 79{,}45 + 114{,}97 \approx 296{,}72.
Portanto:
C \approx \frac{1\,177{,}51}{296{,}72}\approx 3{,}97.
Interpretação: C representa \dfrac{S^{1/2}}{n}. Não precisamos separar S e n; basta essa constante para extrapolar via Manning.

Passo 6

Agora calculamos K(h) para as cotas onde faltam as vazões e estimamos Q por
Q_{\text{estimado}} = C\cdot K(h_{\text{novo}}).
Calcular para cota 3{,}5\\ \mathrm{m}:
h = 3{,}5 - 0{,}5 = 3{,}0\\ \mathrm{m}.
A = 5\cdot 3{,}0 = 15{,}0\\ \mathrm{m^2},\quad P = 5 + 2\cdot 3{,}0 = 11{,}0\\ \mathrm{m}.
R = \frac{15{,}0}{11{,}0}\approx 1{,}3636,\quad R^{2/3}\approx 1{,}229.
K = A\,R^{2/3}\approx 15{,}0\times1{,}229 \approx 18{,}44.
Q_{\text{estimado}} \approx C\times K \approx 3{,}97\times18{,}44 \approx 73{,}15\\ \mathrm{m^3/s}.
Calcular para cota 4{,}0\\ \mathrm{m}:
h = 4{,}0 - 0{,}5 = 3{,}5\\ \mathrm{m}.
A = 5\cdot 3{,}5 = 17{,}5\\ \mathrm{m^2},\quad P = 5 + 2\cdot 3{,}5 = 12{,}0\\ \mathrm{m}.
R = \frac{17{,}5}{12{,}0}\approx 1{,}4583,\quad R^{2/3}\approx 1{,}283.
K = A\,R^{2/3}\approx 17{,}5\times1{,}283 \approx 22{,}45.
Q_{\text{estimado}} \approx C\times K \approx 3{,}97\times22{,}45 \approx 89{,}08\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 7

Breve comentário didático final: o método de Stevens aqui foi aplicado linearizando a equação de Manning na forma Q = C\cdot K(h) e obtendo C por ajuste forçado à origem. Isso faz sentido quando S e n são razoavelmente constantes. Os valores obtidos são aproximações (arredondei intermediários); o procedimento em prova pode ser feito com uma calculadora para obter maior precisão. Resistência do canal, variações locais de seção e de declividade podem causar desvios na prática, mas essa é a forma recomendada para extrapolar com Manning a partir de medições.

Resposta

Q(3{,}5\\ \mathrm{m}) \approx 73{,}15\\ \mathrm{m^3/s}
Q(4{,}0\\ \mathrm{m}) \approx 89{,}08\\ \mathrm{m^3/s}

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