Exercício 7.2 Uma partícula carregada viaja através de um campo magnético uniforme, com velocidade perpendicular à direção do campo. Sabemos que essa partícula experimenta uma força magnética que a faz mover-se em um caminho circular. Além disso, como ela está se movendo, a partícula carregada cria seu próprio campo magnético \vec{B}_{p}\left(\right. a) Derive uma expressão para o módulo do campo magnético B_{p} no centro do caminho circular em termos do módulo B_{\text {ext }} do campo magnético uniforme externo, o raio R da órbita da partícula, a carga q da partícula e a massa m da partícula. (b) Usando c^{2}=1 / \sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}, mostre que sua expressão pode ser colocada na forma solicitada.
\frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} R} \frac{1}{m c^{2}} B_{\mathrm{ext}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) obter uma expressão para o módulo do campo magnético criado pela partícula em movimento no centro da sua órbita circular, B_{p}, em termos de B_{\text{ext}} (o campo magnético externo uniforme), do raio R da órbita, da carga q e da massa m da partícula; (b) mostrar que essa expressão pode ser escrita na forma
\frac{q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}R}\frac{1}{mc^{2}}\,B_{\mathrm{ext}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{a partícula tem velocidade perpendicular ao campo magnético externo }B_{\text{ext}},íé
\text{portanto descreve movimento circular de raio }R,
\text{a partícula carregada em movimento produz um campo magnético } \vec{B}_{p}.íé
Não vamos resolver nada ainda, só organizei o que é pedido e o que temos.

Passo 2

Vamos relacionar a velocidade da partícula com as quantidades do enunciado usando as forças que atuam nela. A força magnética sobre uma partícula carregada com carga q que se move com velocidade \vec v em um campo magnético \vec B é a força de Lorentz (quando \vec v é perpendicular a \vec B):
\text{Força magnética: } \vec F_{B}=q\,\vec v\times\vec B \quad\Rightarrow\quad \text{módulo } F_{B}=qvB_{\text{ext}}.çéó
Para movimento circular uniforme, a força centrípeta necessária é
\text{Força centrípeta: } F_{\text{c}}=\frac{m v^{2}}{R}.çí
No caso dado, a força magnética fornece exatamente a força centrípeta, logo igualamos os módulos:
q v B_{\text{ext}}=\frac{m v^{2}}{R}.
Essa equação permite determinar v. Isolando v:
q v B_{\text{ext}}=\frac{m v^{2}}{R}\quad\Rightarrow\quad m v = q B_{\text{ext}} R \quad\Rightarrow\quad v=\frac{q B_{\text{ext}} R}{m}.
Explicação curta do passo: igualamos a força magnética (que puxa a partícula para o centro) à força centrípeta; simples, não tem segredo — só cuidado algébrico.

Passo 3

Agora modelamos a partícula em órbita como uma corrente elétrica que circula num anel de raio R. A intensidade de corrente I associada a uma carga q que passa repetidamente por um ponto com período T é
I=\frac{q}{T}.
O período T do movimento circular é o comprimento da circunferência dividido pela velocidade:
T=\frac{2\pi R}{v}.
Substituindo em I obtemos
I=\frac{q}{T}=\frac{q}{2\pi R/v}=\frac{q v}{2\pi R}.
Isso é uma forma prática de ver que uma única carga girando dá origem a um equivalente de corrente.

Passo 4

Precisamos agora do campo magnético no centro de um círculo percorrido por uma corrente I. Um resultado padrão da lei de Biot–Savart (ou da integração direta dessa lei para um laço circular) diz que o módulo do campo magnético no centro de um laço circular de raio R é
B_{p}=\frac{\mu_{0} I}{2R},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo. Se quiser um pouco de intuição: a contribuição de cada elemento de corrente somada por simetria resulta em um campo ao longo do eixo perpendicular ao plano do laço e a integral dá exatamente esse fator \mu_{0}/(2R). Vou usar esse resultado agora.

Passo 5

Substituímos a expressão de I de antes em B_{p}:
B_{p}=\frac{\mu_{0}}{2R}\,I=\frac{\mu_{0}}{2R}\left(\frac{q v}{2\pi R}\right).
Organizando os fatores:
B_{p}=\frac{\mu_{0} q v}{4\pi R^{2}}.

Passo 6

Agora substituímos v (obtido no Passo 2) na expressão acima. Lembrando v=\dfrac{q B_{\text{ext}} R}{m}, temos
B_{p}=\frac{\mu_{0} q}{4\pi R^{2}}\left(\frac{q B_{\text{ext}} R}{m}\right).
Simplificando R e reunindo termos:
B_{p}=\frac{\mu_{0} q^{2}}{4\pi m R}\,B_{\text{ext}}.
Pronto — esta é a expressão para B_{p} em termos de \mu_{0},\,q,\,m,\,R e B_{\text{ext}}. Já dá pra ver a dependência física: campo proporcional a q^{2} (mais carga → mais corrente → mais campo) e inversamente proporcional a m (massa maior → velocidade menor → corrente menor).

Passo 7

Agora precisamos reescrever essa expressão usando constantes eletromagnéticas e a velocidade da luz para chegar à forma pedida. A relação entre \mu_{0}, \epsilon_{0} e c é a bem conhecida
c^{2}=\frac{1}{\mu_{0}\epsilon_{0}},
que pode ser rearranjada para expressar \mu_{0} em função de \epsilon_{0} e c:
\mu_{0}=\frac{1}{\epsilon_{0}c^{2}}.

Passo 8

Substituímos \mu_{0}=\dfrac{1}{\epsilon_{0}c^{2}} na expressão do Passo 6:
B_{p}=\frac{1}{\epsilon_{0}c^{2}}\cdot\frac{q^{2}}{4\pi m R}\,B_{\text{ext}}.
Reagrupando os fatores para a forma desejada:
B_{p}=\left(\frac{q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}R}\right)\left(\frac{1}{m c^{2}}\right)B_{\text{ext}}.
Essa é exatamente a forma pedida no enunciado.

Resposta

\frac{q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}R}\frac{1}{mc^{2}}\,B_{\mathrm{ext}}

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