Exercício 7.2 Uma partícula carregada viaja através de um campo magnético uniforme, com velocidade perpendicular à direção do campo. Sabemos que essa partícula experimenta uma força magnética que a faz mover-se em um caminho circular. Além disso, como ela está se movendo, a partícula carregada cria seu próprio campo magnético
a) Derive uma expressão para o módulo do campo magnético
no centro do caminho circular em termos do módulo
do campo magnético uniforme externo, o raio
da órbita da partícula, a carga
da partícula e a massa
da partícula. (b) Usando
, mostre que sua expressão pode ser colocada na forma solicitada.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) obter uma expressão para o módulo do campo magnético criado pela partícula em movimento no centro da sua órbita circular,
, em termos de
(o campo magnético externo uniforme), do raio
da órbita, da carga
e da massa
da partícula; (b) mostrar que essa expressão pode ser escrita na forma
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não vamos resolver nada ainda, só organizei o que é pedido e o que temos.
Passo 2
Vamos relacionar a velocidade da partícula com as quantidades do enunciado usando as forças que atuam nela. A força magnética sobre uma partícula carregada com carga
que se move com velocidade
em um campo magnético
é a força de Lorentz (quando
é perpendicular a
):
Para movimento circular uniforme, a força centrípeta necessária é
No caso dado, a força magnética fornece exatamente a força centrípeta, logo igualamos os módulos:
Essa equação permite determinar
. Isolando
:
Explicação curta do passo: igualamos a força magnética (que puxa a partícula para o centro) à força centrípeta; simples, não tem segredo — só cuidado algébrico.
Passo 3
Agora modelamos a partícula em órbita como uma corrente elétrica que circula num anel de raio
. A intensidade de corrente
associada a uma carga
que passa repetidamente por um ponto com período
é
O período
do movimento circular é o comprimento da circunferência dividido pela velocidade:
Substituindo em
obtemos
Isso é uma forma prática de ver que uma única carga girando dá origem a um equivalente de corrente.
Passo 4
Precisamos agora do campo magnético no centro de um círculo percorrido por uma corrente
. Um resultado padrão da lei de Biot–Savart (ou da integração direta dessa lei para um laço circular) diz que o módulo do campo magnético no centro de um laço circular de raio
é
onde
é a permeabilidade do vácuo. Se quiser um pouco de intuição: a contribuição de cada elemento de corrente somada por simetria resulta em um campo ao longo do eixo perpendicular ao plano do laço e a integral dá exatamente esse fator
. Vou usar esse resultado agora.
Passo 5
Substituímos a expressão de
de antes em
:
Organizando os fatores:
Passo 6
Agora substituímos
(obtido no Passo 2) na expressão acima. Lembrando
, temos
Simplificando
e reunindo termos:
Pronto — esta é a expressão para
em termos de
e
. Já dá pra ver a dependência física: campo proporcional a
(mais carga → mais corrente → mais campo) e inversamente proporcional a
(massa maior → velocidade menor → corrente menor).
Passo 7
Agora precisamos reescrever essa expressão usando constantes eletromagnéticas e a velocidade da luz para chegar à forma pedida. A relação entre
,
e
é a bem conhecida
que pode ser rearranjada para expressar
em função de
e
:
Passo 8
Substituímos
na expressão do Passo 6:
Reagrupando os fatores para a forma desejada:
Essa é exatamente a forma pedida no enunciado.