Exercício 2 Um foguete de massa
é lançado verticalmente a partir da superfície da Terra (massa
, raio
) com uma velocidade inicial
. Despreze a resistência do ar e os efeitos da rotação da Terra. Considere que a energia potencial gravitacional do sistema foguete-Terra é nula no infinito.
a) Escreva a expressão para a energia mecânica total inicial
do sistema foguete-Terra no instante do lançamento
.
b) Suponha que o foguete atinja uma altura máxima
acima da superfície da Terra antes de começar a cair. Escreva a expressão para a energia mecânica total
neste ponto de altura máxima.
c) Utilizando o princípio da conservação da energia mecânica, deduza uma expressão exata para a altura máxima
alcançada em função de
e
.
d) Mostre matematicamente qual deve ser o valor mínimo da velocidade inicial
(velocidade de escape
) para que o foguete nunca retorne (ou seja, para que
).
a) Escreva a expressão para a energia mecânica total inicial
b) Suponha que o foguete atinja uma altura máxima
c) Utilizando o princípio da conservação da energia mecânica, deduza uma expressão exata para a altura máxima
d) Mostre matematicamente qual deve ser o valor mínimo da velocidade inicial
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos (o que o problema pede):
- Foi dado um foguete de massa
lançado verticalmente a partir da superfície da Terra. - Dados da Terra: massa
e raio . - Velocidade inicial do foguete:
no instante do lançamento (isto é, em ). - Desprezam-se resistência do ar e rotação da Terra.
- A energia potencial gravitacional do sistema foguete–Terra é definida como nula no infinito.
Perguntas:
(a) Escrever a expressão para a energia mecânica total inicial no instante do lançamento
.
(b) Escrever a expressão para a energia mecânica total no ponto de altura máxima
(quando o foguete pára momentaneamente).
(c) Usando conservação da energia mecânica, deduzir uma expressão exata para a altura máxima em função de
e
.
(d) Mostrar matematicamente o valor mínimo de (velocidade de escape
) para que o foguete nunca retorne (
).
(a) Escrever a expressão para a energia mecânica total inicial
(b) Escrever a expressão para a energia mecânica total
(c) Usando conservação da energia mecânica, deduzir uma expressão exata para a altura máxima
(d) Mostrar matematicamente o valor mínimo de
Passo 2
Energia potencial gravitacional apropriada e energia mecânica inicial.
Primeiro, lembrar a força gravitacional entre Terra e foguete: a força de atração é dada por
Primeiro, lembrar a força gravitacional entre Terra e foguete: a força de atração é dada por
onde
é a distância entre os centros,
é a constante gravitacional,
é a massa da Terra e
é a massa do foguete. O sinal de
aqui indica módulo da força; ao calcular energia potencial usa-se o sentido (atrativa).
A energia potencial gravitacional com referência zero no infinito é obtida integrando a força desde
até
(menos sinal porque trabalho da força gravitacional entre dois pontos):
Explicação: o resultado significa que quanto mais próximo da Terra (menor
), mais negativa é a energia potencial; em
tem
, conforme a escolha do referencial.
No instante do lançamento (
) a energia cinética inicial é
e a energia potencial inicial é
Portanto, a energia mecânica total inicial
é soma de cinética e potencial:
Passo 3
Energia mecânica no ponto de altura máxima
.
No ponto de altura máxima o foguete fica momentaneamente com velocidade zero, então a energia cinética final é . A distância do centro da Terra neste ponto é
. A energia potencial correspondente é
No ponto de altura máxima o foguete fica momentaneamente com velocidade zero, então a energia cinética final é
Logo a energia mecânica total neste ponto é
Passo 4
Aplicar conservação da energia mecânica e isolar
.
Como não há forças dissipativas, a energia mecânica total se conserva: . Substituindo as expressões encontradas:
Como não há forças dissipativas, a energia mecânica total se conserva:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(desde que
), obtendo:
Rearranjando os termos para agrupar frações com
:
Colocar as frações com denominador comum:
Agora isolar
. Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo o lado esquerdo:
Passar os termos em
para um lado:
Finalmente isolar
:
Multiplicando numerador e denominador por
para ficar mais limpo:
Observação sobre validade: essa expressão é válida quando o denominador é positivo, i.e.
. Se o denominador for zero ou negativo, a hipótese de atingir uma altura máxima finita falha (ver passo seguinte).
Passo 5
Determinar a velocidade de escape
(condição para
).
Para que o foguete nunca retorne devemos ter energia mecânica inicial maior ou igual a zero no referencial adotado (se então a partícula pode ir para
; se
ela passa por
com velocidade residual, se
chega a
com velocidade zero). Usando
e exigindo
obtemos:
Para que o foguete nunca retorne devemos ter energia mecânica inicial maior ou igual a zero no referencial adotado (se
Dividindo por
e multiplicando por
:
Assim o valor mínimo de
que garante que o foguete nunca retorne (velocidade de escape) é o caso limite com igualdade:
Consistência com a expressão de
: quando
o denominador em
fica zero, o que indica
. Para
a energia inicial é positiva e não existe altura máxima finita (o foguete escapa).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)