Exercício 2 Um foguete de massa m é lançado verticalmente a partir da superfície da Terra (massa M_{T}, raio R_{T} ) com uma velocidade inicial v_{0}. Despreze a resistência do ar e os efeitos da rotação da Terra. Considere que a energia potencial gravitacional do sistema foguete-Terra é nula no infinito.
a) Escreva a expressão para a energia mecânica total inicial E_{i} do sistema foguete-Terra no instante do lançamento \left(r=R_{T}\right).
b) Suponha que o foguete atinja uma altura máxima h acima da superfície da Terra antes de começar a cair. Escreva a expressão para a energia mecânica total E_{f} neste ponto de altura máxima.
c) Utilizando o princípio da conservação da energia mecânica, deduza uma expressão exata para a altura máxima h alcançada em função de v_{0}, G, M_{T} e R_{T}.
d) Mostre matematicamente qual deve ser o valor mínimo da velocidade inicial v_{0} (velocidade de escape v_{e} ) para que o foguete nunca retorne (ou seja, para que h \rightarrow \infty ).

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos (o que o problema pede):
  • Foi dado um foguete de massa m lançado verticalmente a partir da superfície da Terra.
  • Dados da Terra: massa M_{T} e raio R_{T}.
  • Velocidade inicial do foguete: v_{0} no instante do lançamento (isto é, em r=R_{T}).
  • Desprezam-se resistência do ar e rotação da Terra.
  • A energia potencial gravitacional do sistema foguete–Terra é definida como nula no infinito.
Perguntas:
(a) Escrever a expressão para a energia mecânica total inicial E_{i} no instante do lançamento \big(r=R_{T}\big).
(b) Escrever a expressão para a energia mecânica total E_{f} no ponto de altura máxima h (quando o foguete pára momentaneamente).
(c) Usando conservação da energia mecânica, deduzir uma expressão exata para a altura máxima h em função de v_{0}, G, M_{T} e R_{T}.
(d) Mostrar matematicamente o valor mínimo de v_{0} (velocidade de escape v_{e}) para que o foguete nunca retorne ( h\to\infty).

Passo 2

Energia potencial gravitacional apropriada e energia mecânica inicial.
Primeiro, lembrar a força gravitacional entre Terra e foguete: a força de atração é dada por
F(r)=\frac{G\,M_{T}\,m}{r^{2}},
onde r é a distância entre os centros, G é a constante gravitacional, M_{T} é a massa da Terra e m é a massa do foguete. O sinal de F aqui indica módulo da força; ao calcular energia potencial usa-se o sentido (atrativa).
A energia potencial gravitacional com referência zero no infinito é obtida integrando a força desde r=\infty até r (menos sinal porque trabalho da força gravitacional entre dois pontos):
U(r)=-\int_{\infty}^{r}\frac{G\,M_{T}\,m}{r'^{2}}\,dr' = -\frac{G\,M_{T}\,m}{r}.
Explicação: o resultado significa que quanto mais próximo da Terra (menor r), mais negativa é a energia potencial; em r\to\infty tem U\to0, conforme a escolha do referencial.
No instante do lançamento ( r=R_{T}) a energia cinética inicial é
K_{i}=\frac{1}{2}m v_{0}^{2},
e a energia potencial inicial é
U_{i}=U(R_{T})=-\frac{G\,M_{T}\,m}{R_{T}}.
Portanto, a energia mecânica total inicial E_{i} é soma de cinética e potencial:
E_{i}=\frac{1}{2}m v_{0}^{2}-\frac{G\,M_{T}\,m}{R_{T}}.

Passo 3

Energia mecânica no ponto de altura máxima h.
No ponto de altura máxima o foguete fica momentaneamente com velocidade zero, então a energia cinética final é K_{f}=0. A distância do centro da Terra neste ponto é r_{f}=R_{T}+h. A energia potencial correspondente é
U_{f}=U(R_{T}+h)=-\frac{G\,M_{T}\,m}{R_{T}+h}.
Logo a energia mecânica total neste ponto é
E_{f}=0-\frac{G\,M_{T}\,m}{R_{T}+h}=-\frac{G\,M_{T}\,m}{R_{T}+h}.

Passo 4

Aplicar conservação da energia mecânica e isolar h.
Como não há forças dissipativas, a energia mecânica total se conserva: E_{i}=E_{f}. Substituindo as expressões encontradas:
\frac{1}{2}m v_{0}^{2}-\frac{G\,M_{T}\,m}{R_{T}} = -\frac{G\,M_{T}\,m}{R_{T}+h}.
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por m (desde que m\neq0), obtendo:
\frac{1}{2}v_{0}^{2}-\frac{G\,M_{T}}{R_{T}} = -\frac{G\,M_{T}}{R_{T}+h}.
Rearranjando os termos para agrupar frações com G M_{T}:
\frac{1}{2}v_{0}^{2} = \frac{G\,M_{T}}{R_{T}}-\frac{G\,M_{T}}{R_{T}+h}.
Colocar as frações com denominador comum:
\frac{1}{2}v_{0}^{2} = G\,M_{T}\left(\frac{R_{T}+h - R_{T}}{R_{T}(R_{T}+h)}\right) = G\,M_{T}\left(\frac{h}{R_{T}(R_{T}+h)}\right).
Agora isolar h. Multiplicando ambos os lados por R_{T}(R_{T}+h):
\frac{1}{2}v_{0}^{2}\,R_{T}(R_{T}+h) = G\,M_{T}\,h.
Expandindo o lado esquerdo:
\frac{1}{2}v_{0}^{2}R_{T}^{2}+\frac{1}{2}v_{0}^{2}R_{T}h = G\,M_{T}\,h.
Passar os termos em h para um lado:
\frac{1}{2}v_{0}^{2}R_{T}^{2} = h\left(G\,M_{T}-\frac{1}{2}v_{0}^{2}R_{T}\right).
Finalmente isolar h:
h=\frac{\dfrac{1}{2}v_{0}^{2}R_{T}^{2}}{G\,M_{T}-\dfrac{1}{2}v_{0}^{2}R_{T}}.
Multiplicando numerador e denominador por 2 para ficar mais limpo:
h=\frac{v_{0}^{2}R_{T}^{2}}{2G\,M_{T}-v_{0}^{2}R_{T}}.
Observação sobre validade: essa expressão é válida quando o denominador é positivo, i.e. 2G\,M_{T}-v_{0}^{2}R_{T}>0. Se o denominador for zero ou negativo, a hipótese de atingir uma altura máxima finita falha (ver passo seguinte).

Passo 5

Determinar a velocidade de escape v_{e} (condição para h\to\infty).
Para que o foguete nunca retorne devemos ter energia mecânica inicial maior ou igual a zero no referencial adotado (se E_{i}\ge0 então a partícula pode ir para r\to\infty; se E_{i}>0 ela passa por r\to\infty com velocidade residual, se E_{i}=0 chega a r\to\infty com velocidade zero). Usando E_{i}=\dfrac{1}{2}m v_{0}^{2}-\dfrac{G\,M_{T}\,m}{R_{T}} e exigindo E_{i}\ge0 obtemos:
\frac{1}{2}m v_{0}^{2}-\frac{G\,M_{T}\,m}{R_{T}}\ge 0.
Dividindo por m e multiplicando por 2:
v_{0}^{2}\ge \frac{2G\,M_{T}}{R_{T}}.
Assim o valor mínimo de v_{0} que garante que o foguete nunca retorne (velocidade de escape) é o caso limite com igualdade:
v_{e}=\sqrt{\frac{2G\,M_{T}}{R_{T}}}.
Consistência com a expressão de h: quando v_{0}=v_{e} o denominador em h=\dfrac{v_{0}^{2}R_{T}^{2}}{2G\,M_{T}-v_{0}^{2}R_{T}} fica zero, o que indica h\to\infty. Para v_{0}>v_{e} a energia inicial é positiva e não existe altura máxima finita (o foguete escapa).

Resposta

(a) E_{i}=\dfrac{1}{2}m v_{0}^{2}-\dfrac{G\,M_{T}\,m}{R_{T}}
(b) E_{f}=-\dfrac{G\,M_{T}\,m}{R_{T}+h}
(c) \displaystyle h=\frac{v_{0}^{2}R_{T}^{2}}{2G\,M_{T}-v_{0}^{2}R_{T}}
(d) \displaystyle v_{e}=\sqrt{\frac{2G\,M_{T}}{R_{T}}}

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