Exercício 6. Um foguete para pesquisas meteorológicas é lançado verticalmente para cima. Durante a queima do combustível, o motor exerce uma força que lhe confere uma aceleração propulsiva de magnitude ag para cima, onde
é a aceleração da gravidade e
é um número real. O combustível é totalmente consumido após um tempo
. Assumindo que podemos desprezar a resistência do ar e que a aceleração da gravidade se mantém constante durante todo o trajeto, determine:
a) a aceleração liquida agindo sobre o foguete antes e após a queima do combustível.
b) A altura máxima que o foguete atinge em termos de
e
.
c) A velocidade do foguete ao retornar ao solo.
d) O tempo total do percurso do foguete, de quando ele foi lançado até retornar ao solo.
e) Assumindo que
e
esboce os gráficos da aceleração, velocidade e posição do foguete em função do tempo do instante em que ele foi lançado até o instante em que ele retornou ao solo.
a) a aceleração liquida agindo sobre o foguete antes e após a queima do combustível.
b) A altura máxima que o foguete atinge em termos de
c) A velocidade do foguete ao retornar ao solo.
d) O tempo total do percurso do foguete, de quando ele foi lançado até retornar ao solo.
e) Assumindo que
Passo 1
O enunciado trata de um foguete lançado verticalmente, cuja aceleração propulsiva tem magnitude
para cima durante o tempo de queima
, sendo
e
a gravidade constante. Após
não há propulsão, só atua a gravidade. O conteúdo é cinemática unidimensional com aceleração constante (MUV), então usaremos as fórmulas
em cada fase do movimento.
Passo 2
Antes da queima a resultante das acelerações é
Depois da queima, só a gravidade atua para baixo, logo
Passo 3
Para achar a altura máxima, primeiro calculamos a velocidade e a posição no instante
.
– Velocidade ao fim da queima:
– Velocidade ao fim da queima:
– Altura ao fim da queima (partindo de
e
):
Depois da queima, o foguete sobe com aceleração
até
. O tempo de subida pós-queima é
e a altura máxima é
Passo 4
Ao retornar ao solo, a velocidade tem módulo igual ao ganho de energia potencial, isto é
e o sinal é negativo (para baixo).
Passo 5
O tempo total é a soma de: queima
, subida sem propulsão
e queda livre. O tempo de queda satisfaz
Logo
Passo 6
Para
e
:
– ,m/
até
; depois
,m/
constante.
– e atinge zero em
. A altura máxima é
–
–
– O tempo de queda é
e o total
.
Esboço qualitativo dos gráficos de ,
e
:
Esboço qualitativo dos gráficos de
-
: reta constante em até , salto instantâneo para e segue constante até . -
: cresce linear de a no intervalo , depois decresce linear com inclinação até cruzar zero em e continua negativando até em . -
: curva côncava para cima (parábola de ) até , depois inflexão e concavidade para baixo até retornar a zero em .
Resposta
a) Antes da queima:
Após a queima:
b)
c)
d)
e) Para
,
:
– é
,m/
em
e
,m/
em
.
– cresce linear de
a
, depois decresce até
.
– sobe em parábola de concavidade positiva até
em
, depois desce em parábola de concavidade negativa até
.
–
–
–
(Esboços qualitativos conforme descrito.)