Exercício 6. Um foguete para pesquisas meteorológicas é lançado verticalmente para cima. Durante a queima do combustível, o motor exerce uma força que lhe confere uma aceleração propulsiva de magnitude ag para cima, onde g é a aceleração da gravidade e \alpha>1 é um número real. O combustível é totalmente consumido após um tempo t_{q}. Assumindo que podemos desprezar a resistência do ar e que a aceleração da gravidade se mantém constante durante todo o trajeto, determine:
a) a aceleração liquida agindo sobre o foguete antes e após a queima do combustível.
b) A altura máxima que o foguete atinge em termos de g, t_{q} e \alpha.
c) A velocidade do foguete ao retornar ao solo.
d) O tempo total do percurso do foguete, de quando ele foi lançado até retornar ao solo.
e) Assumindo que \alpha=1.5 e \mathrm{g} \approx 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} esboce os gráficos da aceleração, velocidade e posição do foguete em função do tempo do instante em que ele foi lançado até o instante em que ele retornou ao solo.

Passo 1

O enunciado trata de um foguete lançado verticalmente, cuja aceleração propulsiva tem magnitude \alpha g para cima durante o tempo de queima t_q, sendo \alpha>1 e g a gravidade constante. Após t_q não há propulsão, só atua a gravidade. O conteúdo é cinemática unidimensional com aceleração constante (MUV), então usaremos as fórmulas
v(t)=v_0 + a\,t
y(t)=y_0 + v_0\,t + \tfrac12 a\,t^2
em cada fase do movimento.

Passo 2

Antes da queima a resultante das acelerações é
a_1 = \alpha g \;(\uparrow)\;-\;g\;(\downarrow) =\;(\alpha -1)\,g\quad(\text{para }0\le t\le t_q).
Depois da queima, só a gravidade atua para baixo, logo
a_2 = -\,g\quad(\text{para }t\ge t_q).

Passo 3

Para achar a altura máxima, primeiro calculamos a velocidade e a posição no instante t_q.
– Velocidade ao fim da queima:
v_q = a_1\,t_q = (\alpha -1)\,g\,t_q.
– Altura ao fim da queima (partindo de y_0=0 e v_0=0):
y_q = \tfrac12\,a_1\,t_q^2 = \tfrac12\,(\alpha -1)\,g\,t_q^2.
Depois da queima, o foguete sobe com aceleração -g até v=0. O tempo de subida pós-queima é
\Delta t = \frac{v_q}{g} = (\alpha -1)\,t_q,
e a altura máxima é
H = y_q \;+\; v_q\,\Delta t \;-\;\tfrac12\,g\,(\Delta t)^2 = \tfrac12\,g\,t_q^2\,\alpha(\alpha -1).

Passo 4

Ao retornar ao solo, a velocidade tem módulo igual ao ganho de energia potencial, isto é
|v_{\rm solo}| = \sqrt{2\,g\,H} = g\,t_q\,\sqrt{\alpha(\alpha -1)},
e o sinal é negativo (para baixo).

Passo 5

O tempo total é a soma de: queima t_q, subida sem propulsão \Delta t=(\alpha -1)t_q e queda livre. O tempo de queda satisfaz
H = \tfrac12\,g\,t_{\rm queda}^2 \quad\Longrightarrow\quad t_{\rm queda} = t_q\,\sqrt{\alpha(\alpha -1)}.
Logo
t_{\rm total} = t_q + (\alpha -1)\,t_q + t_q\,\sqrt{\alpha(\alpha -1)} = t_q\Bigl[\alpha + \sqrt{\alpha(\alpha -1)}\Bigr].

Passo 6

Para \alpha=1{,}5 e g=10:
a_1=(\alpha-1)g=0{,}5\cdot10=5,m/ s^{2} até t_q; depois a_2=-10,m/ s^{2} constante.
v_q=5\,t_q e atinge zero em t_p=1{,}5\,t_q. A altura máxima é
H= \tfrac12\cdot10\cdot t_q^2\cdot(1{,}5\cdot0{,}5)=3{,}75\,t_q^2.
– O tempo de queda é 0{,}866\,t_q e o total t_{\rm total}=2{,}366\,t_q.
Esboço qualitativo dos gráficos de a(t), v(t) e y(t):
  1. a(t): reta constante em +5 até t_q, salto instantâneo para -10 e segue constante até t_{\rm total}.
  2. v(t): cresce linear de 0 a 5\,t_q no intervalo [0,t_q], depois decresce linear com inclinação -10 até cruzar zero em 1{,}5\,t_q e continua negativando até -\,g\,t_q\sqrt{0{,}75} em t_{\rm total}.
  3. y(t): curva côncava para cima (parábola de a=5) até t_q, depois inflexão e concavidade para baixo até retornar a zero em t_{\rm total}.

Resposta

a) Antes da queima:
a_{\rm líquida}=(\alpha -1)\,g\quad(\uparrow).í
Após a queima:
a_{\rm líquida}=-\,g\quad(\downarrow).í
b)
H = \tfrac12\,g\,t_q^2\,\alpha(\alpha -1).
c)
v_{\rm solo} = -\,g\,t_q\,\sqrt{\alpha(\alpha -1)}.
d)
t_{\rm total}=t_q\Bigl[\alpha + \sqrt{\alpha(\alpha -1)}\Bigr].
e) Para \alpha=1{,}5, g=10:
a(t) é +5,m/ s^{2} em [0,t_q] e -10,m/ s^{2} em [t_q,2{,}366\,t_q].
v(t) cresce linear de 0 a 5\,t_q, depois decresce até -\,t_q\sqrt{7,5}.
y(t) sobe em parábola de concavidade positiva até 3{,}75\,t_q^2 em 1{,}5\,t_q, depois desce em parábola de concavidade negativa até 0.
(Esboços qualitativos conforme descrito.)

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