Exercício 2. A função horária x(t) que descreve a posição em função do tempo de uma partícula se movendo ao longo do eixo x é dada por
x=x_{0}-\frac{a}{2} t^{2}
com x em metros e t em segundos.
a) Em que instante t a partícula para momentaneamente?
b) Qual a posição da partícula no instante em que ela para momentaneamente?
c) Em quais instantes t_{1} e t_{2} a partícula passa pela origem?
d) Tome x_{0}=4.0 \mathrm{~m} e a =2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Desenhe o gráfico de x(t) para o intervalo t=[-4 \mathrm{~s} ; 4 \mathrm{~s}].
e) Para deslocarmos a curva no gráfico para direita devemos somar ou subtrair um termo 3 t a posição?
f) Esta modificação aumenta ou diminui o valor de x para o qual a partícula para momentaneamente?
g) E o valor de t para o qual ela para momentaneamente, sofre alguma alteração?

Passo 1

O enunciado dá a posição
x(t)=x_{0}-\frac{a}{2}\,t^{2}
de uma partícula no eixo x. Trata-se de cinemática unidimensional com aceleração constante (aqui negativa), então usaremos a derivada para achar a velocidade e zero da posição para achar quando a partícula passa pela origem.

Passo 2

A velocidade é a derivada de x(t):
v(t)=\frac{dx}{dt}=-a\,t.
Para parar momentaneamente, v(t)=0, logo
-a\,t=0\quad\Longrightarrow\quad t=0.

Passo 3

A posição nesse instante é
x(0)=x_{0}-\frac{a}{2}\,(0)^{2}=x_{0}.

Passo 4

Para achar os instantes em que a partícula passa pela origem, imponho
x(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{0}-\frac{a}{2}\,t^{2}=0
\frac{a}{2}\,t^{2}=x_{0} \quad\Longrightarrow\quad t^{2}=\frac{2\,x_{0}}{a} \quad\Longrightarrow\quad t=\pm\sqrt{\frac{2\,x_{0}}{a}}.

Passo 5

Com x_{0}=4{,}0\\ \mathrm{m} e a=2\\ \mathrm{m/s^{2}}, temos
x(t)=4-\;1\cdot t^{2}=4-t^{2}.
É uma parábola voltada para baixo, com vértice em (t,x)=(0,4) e raízes em t=\pm2. No intervalo t\in[-4,4], o gráfico parte de x(-4)=4-16=-12, sobe até (0,4) e desce de volta a x(4)=-12.

Passo 6

Se somamos um termo linear +3t, a nova posição é
x_{\text{new}}(t)=x_{0}-\tfrac{a}{2}t^{2}+3t.
A velocidade fica
v_{\text{new}}(t)=-a\,t+3,
e o instante de parada resolve -a\,t+3=0, ou seja t=3/a>0. Para deslocar o vértice para a direita, precisamos de +3t. Logo, soma-se 3t.

Passo 7

Nesse novo caso, a posição de parada é
x_{\text{new}}\bigl(t=3/a\bigr) =x_{0}-\frac{a}{2}\Bigl(\frac{3}{a}\Bigr)^{2} +3\cdot\frac{3}{a} =x_{0}+\frac{9}{2a},
que é maior que x_{0}. Portanto, a modificação aumenta o valor de x no qual a partícula para.

Passo 8

O novo instante de parada é t=3/a, diferente de 0. Logo, o valor de t sofre alteração, passando de 0 para 3/a.

Resposta

a) t=0
b) x=x_{0}
c) t_{1,2}=\pm\sqrt{\tfrac{2\,x_{0}}{a}}
d) x(t)=4-t^{2}: parábola côncava para baixo com vértice em (0,4) e raízes em \pm2 para t\in[-4,4].
e) Deve-se somar o termo 3t.
f) Essa modificação aumenta a posição de parada.
g) O instante de parada passa de 0 para 3/a, portanto muda.

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