Calcule fluxo \Φ(S)=\int_{S} \vec{A} \cdot d \vec{a} atrvés de hemisfere norte \ϑ \in[0, \pi / 2] para um campo vetrorial \vec{A}=A(\ϑ) \hat{z} para
  • A(\ϑ)=A= const

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\Phi(S)=\int_{S}\vec A\cdot d\vec a
através do hemisfério norte de uma esfera de raio R, onde a coordenada polar \vartheta varia de 0 a \pi/2. O campo é
\vec A = A(\vartheta)\,\hat z
e neste caso A(\vartheta)=A, constante. Vamos parametrizar a superfície esférica e usar a expressão do vetor normal e do elemento de área em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas fixas, a superfície do hemisfério é dada por
r=R,\quad \vartheta\in[0,\tfrac\pi2],\quad \varphi\in[0,2\pi].
O vetor normal externo unitário à superfície esférica é \hat r.

Passo 3

O elemento de área na esfera é
d\vec a = \hat r\,dS \quad\text{com}\quad dS = R^2\sin\vartheta\,d\vartheta\,d\varphi.

Passo 4

O produto escalar do campo com o elemento de área é
\vec A\cdot d\vec a = \bigl(A\,\hat z\bigr)\cdot\bigl(\hat r\,R^2\sin\vartheta\,d\vartheta\,d\varphi\bigr) = A\,(\hat z\cdot\hat r)\,R^2\sin\vartheta\,d\vartheta\,d\varphi.
Como \hat z\cdot\hat r=\cos\vartheta,
\vec A\cdot d\vec a = A\,\cos\vartheta\,R^2\sin\vartheta\,d\vartheta\,d\varphi.

Passo 5

Agora integramos sobre \vartheta\in[0,\pi/2] e \varphi\in[0,2\pi]:
\Phi(S) = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/2} A\,R^2\,\cos\vartheta\,\sin\vartheta\,d\vartheta\,d\varphi.
Fazendo a integral em \vartheta:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\vartheta\,\sin\vartheta\,d\vartheta =\frac12\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\vartheta)\,d\vartheta =\frac12\Bigl[-\tfrac12\cos(2\vartheta)\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac12\cdot\frac12\bigl(1-(-1)\bigr) =\frac12.
E em \varphi: \displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi.

Passo 6

Juntando tudo,
\Phi(S) = A\,R^2 \cdot 2\pi \cdot \frac12 = A\,\pi\,R^2.

Resposta

\Phi(S)=A\,\pi\,R^2.

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