Exercício 1.
\forall \mathrm{z} \in \mathbb{C},(\mathrm{z}=\overline{\mathrm{z}}) \Rightarrow(\mathrm{z} \in \mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dado um número complexo z, se z coincide com seu conjugado \overline{z}, então z é um número real. O conteúdo usado será a representação usual de um complexo e a propriedade de igualdade de números complexos (iguais se e somente se coincidem parte real e parte imaginária).

Passo 2

Escrevemos a forma padrão de um complexo:
z = a + b\,i,
com a,b\in\mathbb{R}. Seu conjugado é
\overline{z} = a - b\,i.
A hipótese z = \overline{z} torna-se
a + b\,i = a - b\,i.

Passo 3

De a + b\,i = a - b\,i seguem duas igualdades: da parte real a = a (sempre verdade) e da parte imaginária b = -b. Essa última implica
b = -b \quad\Longrightarrow\quad 2b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = 0.

Passo 4

Como b=0, temos
z = a + b\,i = a + 0\cdot i = a,
onde a\in\mathbb{R}. Logo z é real.

Resposta

Demonstra-se que \forall z\in\mathbb{C},\;(z=\overline{z})\Rightarrow(z\in\mathbb{R}).

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