Exercício 1.
\forall \mathrm{z} \in \mathbb{C},(\mathrm{z}=\overline{\mathrm{z}}) \Rightarrow(\mathrm{z} \in \mathbb{R})
\forall \mathrm{z} \in \mathbb{C},(\mathrm{z}=\overline{\mathrm{z}}) \Rightarrow(\mathrm{z} \in \mathbb{R})
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dado um número complexo
, se
coincide com seu conjugado
, então
é um número real. O conteúdo usado será a representação usual de um complexo e a propriedade de igualdade de números complexos (iguais se e somente se coincidem parte real e parte imaginária).
Passo 2
Escrevemos a forma padrão de um complexo:
com
. Seu conjugado é
A hipótese
torna-se
Passo 3
De
seguem duas igualdades: da parte real
(sempre verdade) e da parte imaginária
. Essa última implica
Passo 4
Como
, temos
onde
. Logo
é real.
Resposta
Demonstra-se que
.