carregamento horizontal devido ao vento. Calcular as tensões normais máximas na sua base.
Dados:
\mathrm{H}=6,70 \mathrm{~m}
peso próprio =10 \frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}
vento \mathrm{p}=0,7 \frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}
área da seção transversal =4,95 \times 10^{3} \mathrm{~cm}^{2}
momentos de inércia da seção =6,96 \times 10^{4} \mathrm{~cm}^{4}
\mathrm{d}_{1}=90 \mathrm{~cm}, \mathrm{~d}_{2}=120 \mathrm{~cm}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. \n
Dados fornecidos: \n
H=6,70\\ \mathrm{m} (altura da peça) \n
peso próprio (carga vertical distribuída) =10\\ \dfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \n
vento (carga lateral distribuída) p=0,7\\ \dfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \n
área da seção =\;4,95\times 10^{3}\\ \mathrm{cm}^{2} \n
momento de inércia da seção =\;6,96\times 10^{4}\\ \mathrm{cm}^{4} \n
d_{1}=90\\ \mathrm{cm},\\ d_{2}=120\\ \mathrm{cm} (dimensões fornecidas da seção) \n
O que se pede: calcular as tensões normais máximas na base (ou seja, a maior compressão e a maior tração que surgem por combinação da força axial e do momento de flexão provocado pelo vento). \n

Passo 2

Entender as cargas que atuam e como transformá-las em força resultante e momento na base. \n
  • A carga vertical linear (peso próprio) w gera uma força axial resultante N na base igual a w vezes H. \n
  • A pressão do vento p é uma carga lateral uniformemente distribuída ao longo da altura; sua resultante lateral Q na base é pH e o momento na base devido a essa carga é o momentante de uma carga distribuída uniforme, dado por M=\dfrac{pH^{2}}{2}. \n
    Essas são fórmulas padrão para cargas uniformes ao longo de uma viga/coluna: \n
N = w\cdot H
Q = p\cdot H
M = \frac{pH^{2}}{2}

Passo 3

Calcular a força axial total N (peso próprio). \n
Usando w=10\\ \dfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} e H=6{,}70\\ \mathrm{m}: \n
N = w\cdot H = 10\cdot 6{,}70 = 67{,}0\\ \mathrm{kN}.
Explicação didática: N é simplesmente a soma do peso ao longo da altura; para uma distribuição constante, multiplica-se intensidade pela altura.

Passo 4

Calcular o momento fletor na base causado pelo vento. \n
Usando p=0{,}7\\ \dfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} e H=6{,}70\\ \mathrm{m}: \n
M = \frac{pH^{2}}{2} = \frac{0{,}7\cdot 6{,}70^{2}}{2}.
Calculemos passo a passo: \n
6{,}70^{2} = 44{,}89. \n
0{,}7\cdot 44{,}89 = 31{,}423. \n
Dividindo por 2: \n
M = 15{,}7115\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Comentário didático: para uma carga lateral uniforme, o momento máximo na base é a resultante vezes a distância do centro de pressão (que fica a H/2 da base), daí a fórmula pH\cdot(H/2)=pH^{2}/2.

Passo 5

Converter A e I para unidades do SI (metros). \n
Dado A=4{,}95\times 10^{3}\\ \mathrm{cm}^{2}. Como 1\\ \mathrm{cm}^{2}=10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}: \n
A = 4{,}95\times 10^{3}\times 10^{-4}=0{,}495\\ \mathrm{m}^{2}.
Dado I=6{,}96\times 10^{4}\\ \mathrm{cm}^{4}. Como 1\\ \mathrm{cm}^{4}=10^{-8}\\ \mathrm{m}^{4}: \n
I = 6{,}96\times 10^{4}\times 10^{-8}=6{,}96\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^{4}.
Explicação: é fundamental trabalhar em unidades consistentes (métricas) para que M em \mathrm{kN\cdot m}, y em \mathrm{m} e I em \mathrm{m}^{4} produzam tensão em \mathrm{kN/m^{2}} (ou \mathrm{MPa} após conversão).

Passo 6

Escolher a fibra extrema (distância y) que dá a maior tensão por flexão. \n
A tensão por flexão em uma fibra é \sigma_{f} = \dfrac{M\,y}{I}, onde y é a distância do eixo neutro até a fibra considerada. \n
Foram fornecidos d_{1}=90\\ \mathrm{cm} e d_{2}=120\\ \mathrm{cm}. Para obter a maior tensão absoluta, consideramos o maior valor de y, ou seja, a metade de d_{2} (pressupomos que o vento age na direção que produz o maior esforço fletor): \n
y = \frac{d_{2}}{2} = \frac{120\\ \mathrm{cm}}{2} = 60\\ \mathrm{cm} = 0{,}60\\ \mathrm{m}.
Comentário sobre escolha: se o vento puder agir em qualquer direção, o pior caso é o que gera maior y (maior alavanca) — por isso usei d_{2}. Se o problema desse I diferente por eixo, deveríamos usar o I correspondente; aqui temos um único I, então tomamos a direção que maximiza y.

Passo 7

Calcular a tensão axial média (componente normal uniforme) \sigma_{0}=\dfrac{N}{A}. \n
Usando N=67{,}0\\ \mathrm{kN} e A=0{,}495\\ \mathrm{m}^{2}: \n
\sigma_{0}=\frac{67{,}0}{0{,}495}=135{,}3535\\ \frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}^{2}}.
Converter para \mathrm{MPa} (lembrando que 1\\ \mathrm{MPa}=1000\\ \dfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}^{2}}): \n
\sigma_{0}=0{,}13535\\ \mathrm{MPa}.
Explicação didática: \sigma_{0} é a tensão que existiria se só houvesse carregamento axial — é uniforme em toda a seção e tem sinal de compressão (positivo aqui).

Passo 8

Calcular a tensão de flexão máxima \sigma_{f}=\dfrac{M\,y}{I}. \n
Usando M=15{,}7115\\ \mathrm{kN\cdot m}, y=0{,}60\\ \mathrm{m} e I=6{,}96\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^{4}: \n
\sigma_{f}=\frac{15{,}7115\cdot 0{,}60}{6{,}96\times 10^{-4}}=\frac{9{,}4269}{6{,}96\times 10^{-4}}=13\,543{,}68\\ \mathrm{MPa}.
Nota passo a passo: multiplicamos M por y e dividimos por I, e depois convertimos as unidades de \dfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m^{2}}} para \mathrm{MPa}. A grandeza obtida é muito maior que \sigma_{0}, o que é comum quando a seção tem I relativamente pequeno em relação ao momento aplicado.

Passo 9

Combinar a tensão uniforme e a tensão de flexão para obter as tensões máximas na base. \n
A distribuição de tensão normal pela combinação de axial + flexão é:
\sigma(y)=\sigma_{0}\pm \sigma_{f} = \frac{N}{A} \pm \frac{M\,y}{I}.
Portanto as tensões extremas (nas fibras mais distantes do eixo neutro) são: \n
tensão máxima de compressão (lado comprimido):
\sigma_{\text{comp}}=\sigma_{0}+\sigma_{f}=0{,}13535+13{,}54368=13{,}67903\\ \mathrm{MPa}.
tensão máxima de tração (lado tracionado):
\sigma_{\text{tração}}=\sigma_{0}-\sigma_{f}=0{,}13535-13{,}54368=-13{,}40833\\ \mathrm{MPa}.çã
Arredondando para duas casas decimais: \sigma_{\text{comp}}=13{,}68\\ \mathrm{MPa} e \sigma_{\text{tração}}=-13{,}41\\ \mathrm{MPa}çã. \n
Interpretação: o sinal negativo indica tração; a magnitude é a tensão absoluta. A flexão domina aqui — a contribuição axial é pequena comparada à flexão.

Resposta

Compressão: \,13{,}68\\ \mathrm{MPa}\n
Tração: \,-13{,}41\\ \mathrm{MPa}

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