EXERCICIO FORÇAS DE LIGAÇĂO INTERATÔMICA

A tabela a seguir apresenta o módulo de Young, E, o volume atómico, es, e a temperatura de fosão \mathrm{T}_{\mathrm{M}}, para vários metais. Se
E \approx \frac{\tilde{\Lambda} k T_{M}}{\omega}
Onde k= constante de Boltzmann e \tilde{A} é uma constante, calcule e organize uma tabela com o valor da constante \bar{A} para cada metal. Calcule um valor médio para \tilde{A}.
Metal \omega \times 10^{-29}\left(\mathrm{~m}^{3}\right) T_{M}(\mathrm{~K}) \mathrm{E}\left(\mathrm{GN} \mathrm{m}^{-2}\right)
Ni 1,09 1726 214
Cu 1,18 1356 124
Ag 1,71 1234 76
Al 1,66 933 69
Pb 3,03 600 14
Fe 1,18 1753 196
V 1,40 2173 130
Cr 1,20 2163 289
Nb 1,80 2741 100
Mo 1,53 2883 360
Ta 1,80 3271 180
W 1,59 3683 406
De posse da média, use-a para calcular os valores do módulo de Young do gelo e do diam considerando os seguintes dados:
Gelo
\begin{aligned} & \omega=3,27 \times 10^{-29} \mathrm{~m}^{3} \\\ & T_{M}=273 \mathrm{~K} \\\ & E=7,7 \times^{100} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned}
Diamante
\begin{aligned} & \omega=5,68 \times 10^{-30} \mathrm{~m}^{3} \\\ & T_{M}=4200 \mathrm{~K} \\\ & E=1,0 \times 10^{12} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned}
Compare o cálculo de E com os dados e especule um motivo para alguma diferença.

Passo 1

O enunciado fornece para vários metais o módulo de Young E (em GN m^{-}²), o volume atômico \omega (em 10^{-29} m^{3}) e a temperatura de fusão T_M (em K). A relação proposta é
E \approx \frac{\tilde{A}\,k\,T_{M}}{\omega},
onde k=1,380649\times10^{-23} J/K é a constante de Boltzmann e \tilde{A} é adimensional.
Precisamos (1) calcular para cada metal
\tilde{A}_i \;=\;\frac{E_i\,\omega_i}{k\,T_{M,i}},
(2) obter a média \bar{A}, (3) usar \bar{A} para estimar E do gelo e do diamante via
E_{\rm pred}=\frac{\bar{A}\,k\,T_{M}}{\omega},
e (4) comparar com os valores experimentais.

Passo 2

Calculemos primeiro cada \tilde{A}_i. Convertendo E para Pa 1 GN m^{-} ^{2}= 10^9 Pa) e \omega para m^{3} ( \omega\times10^{-29}, obtemos:
\tilde{A}_i =\frac{E_i\times10^9\;\bigl[\mathrm{Pa}\bigr]\;\times\bigl(\omega_i\times10^{-29}\bigr)\;\bigl[\mathrm{m}^3\bigr]} {(1,380649\times10^{-23})\;T_{M,i}}
Metal \omega ( 10^{-29} m^{3}) T_M (K) E (GN m^{-}²) \tilde{A}_i
Ni 1,09 1726 214 98
Cu 1,18 1356 124 78
Ag 1,71 1234 76 76
Al 1,66 933 69 89
Pb 3,03 600 14 51
Fe 1,18 1753 196 96
V 1,40 2173 130 61
Cr 1,20 2163 289 116
Nb 1,80 2741 100 48
Mo 1,53 2883 360 138
Ta 1,80 3271 180 72
W 1,59 3683 406 127

Passo 3

A média aritmética é
\bar{A}=\frac1{12}\sum_{i=1}^{12}\tilde{A}_i \approx\frac{98+78+76+89+51+96+61+116+48+138+72+127}{12} \approx87{,}5\approx88.

Passo 4

Agora estimamos E para gelo e diamante usando \bar{A}=88.
Gelo: \omega=3,27\times10^{-29} m^{3} e T_M=273 K
E_{\rm gelo} =\frac{88\,(1,380649\times10^{-23})\,(273)}{3,27\times10^{-29}} \approx1{,}0\times10^{10}\,\mathrm{Pa}.
Diamante: \omega=5,68\times10^{-30} m^{3} e T_M=4200 K
E_{\rm diam} =\frac{88\,(1,380649\times10^{-23})\,(4200)}{5,68\times10^{-30}} \approx8{,}9\times10^{11}\,\mathrm{Pa}.

Passo 5

Comparando com dados experimentais:
– Gelo: E_{\rm exp}\approx7{,}7\times10^{9} Pa versus E_{\rm pred}\approx1{,}0\times10^{10} Pa (diferença ~30 %).
– Diamante: E_{\rm exp}\approx1{,}0\times10^{12} Pa versus E_{\rm pred}\approx8{,}9\times10^{11} Pa (diferença ~10 %).
A discrepância surge porque a constante \tilde{A} média foi ajustada a metais (ligações metálicas), enquanto o gelo tem ligações de hidrogênio e o diamante ligações covalentes muito mais rígidas ou orientadas, o que altera o fator adimensional de ligação.

Resposta

Tabela de \tilde{A}_i para os metais e média \bar{A}\approx88.
Estimativa de E:
Gelo: E_{\rm pred}\approx1{,}0\times10^{10} Pa (vs.\ 7{,}7\times10^{9} Pa).
Diamante: E_{\rm pred}\approx8{,}9\times10^{11} Pa (vs.\ 1{,}0\times10^{12} Pa).
Diferenças devidas ao tipo de ligação atômica.

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