Considere a cementação de uma engrenagem de aço 1020 , a 927^{\circ} \mathrm{C}. (a) Calcule o Coeficiente de Difusão D (a partir da Tabela 2 para um aço CFC) para a temperatura de 927^{\circ} \mathrm{C}; (b) Calcule qual será o teor de carbono a uma distância de 0,50 \mathrm{~mm} abaixo da superfície da engrenagem, ao fim de 5 horas de cementação. Se você dobrar o tempo de cementação, a concentração também dobrará? (Justifique). Considere que o teor de carbono da superfície da engrenagem é 0,90 %C e que o teor nominal de carbono neste tipo de aço é 0,20 \%.
Tabela 2:
Soluto Solvente D_{0}\left(\mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}\right) Q (kJ/mol) Q (kcal/mol)
Carbono Ferro CFC 2,0 \times 10^{-5} 142 34,0

Passo 1

O enunciado trata da cementação (carburização) de uma engrenagem de aço 1020 a 927^\circ\mathrm{C}. Precisamos:
  1. Calcular o coeficiente de difusão D a partir da expressão de Arrhenius, usando D_0 e Q da Tabela 2.
  2. Calcular o teor de carbono a x=0{,}50 mm da superfície após t=5 h, usando a solução de Fick para semi-espaço com concentração de superfície constante.

Passo 2

A expressão de Arrhenius para o coeficiente de difusão é
D = D_0 \exp\!\Bigl(-\frac{Q}{R\,T}\Bigr),
onde \,D_0 = 2{,}0\times10^{-5} \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, Q = 142 \mathrm{kJ/mol}=142\times10^{3} \mathrm{J/mol}, R = 8{,}314 \mathrm{J/(mol\cdot K)},
e a temperatura absoluta é
T = 927 + 273{,}15 = 1200{,}15\;\mathrm{K}.
Calculando o expoente:
\frac{Q}{R\,T} = \frac{142\times10^{3}}{8{,}314 \times 1200{,}15}\approx 14{,}24,
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D = 2{,}0\times10^{-5} \exp(-14{,}24)\approx 2{,}0\times10^{-5}\times6{,}5\times10^{-7} =1{,}3\times10^{-11}\;\mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 3

Para a concentração de carbono C(x,t) em um semi-espaço com superfície mantida em C_s e teor inicial C_0, usa-se
\frac{C(x,t)-C_0}{C_s - C_0} = \erfc\!\biggl(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\biggr).
Aqui: \,C_s=0{,}90\%, \,C_0=0{,}20\%, x=0{,}50 \mathrm{mm}=5{,}0\times10^{-4} \mathrm{m}, t=5 \mathrm{h}=5\times3600=18000 \mathrm{s},
e D=1{,}3\times10^{-11} \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 4

Calculamos primeiro o argumento da função erro complementar:
\beta = \frac{x}{2\sqrt{D\,t}} = \frac{5{,}0\times10^{-4}}{2\sqrt{1{,}3\times10^{-11}\times18000}} \approx 0{,}516.
Da tabela de erros, \erfc(0{,}516)\approx0{,}462. Então
C(0{,}50\,\mathrm{mm},5\,\mathrm{h}) = 0{,}20 + (0{,}90 - 0{,}20)\times0{,}462 =0{,}20 + 0{,}70\times0{,}462 \approx0{,}523\%\;\mathrm{C}.

Passo 5

Se dobrarmos o tempo para t'=10 \mathrm{h}, o termo \sqrt{D\,t'} aumenta como \sqrt{2} e o argumento \beta diminui, mas a erfc não dobra — ela cresce de forma não linear. Numericamente obteríamos algo como \erfc(0{,}365)\approx0{,}610 e C\approx0{,}20+0{,}70\times0{,}610=0{,}627\%,
ou seja, o teor aumenta, mas não dobra. Isso ocorre porque a difusão segue dependência em \sqrt{t}, não em t linearmente.

Resposta

(a) D \approx 1{,}3\times10^{-11} \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
(b) C(0{,}50\,\mathrm{mm},5\,\mathrm{h})\approx0{,}523\%. Se dobrar o tempo, o teor não dobra, pois a difusão cresce com \sqrt{t}, não linearmente.

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