Exercício 0.8
função
é dada por
a) Determine o domínio de
, isto é,
tal que existe
.
b) Determine a imagem de
, isto é,
.
c) A função
é injetora? Por quê?
d) Trace o gráfico da função
.
a) Determine o domínio de
b) Determine a imagem de
c) A função
d) Trace o gráfico da função
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede quatro coisas:
- (a) Determinar o domínio
, isto é, o conjunto de para os quais existe. - (b) Determinar a imagem
, isto é, os valores possíveis de quando varia em . - (c) Dizer se
é injetora e justificar. - (d) Traçar (descrever como desenhar) o gráfico de
.
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita
. Não foi dada outra restrição além de que
é real. A raiz quadrada usada é a raiz quadrada principal (sempre não negativa).
Passo 2
Entendendo o que impede
de existir: a expressão dentro da raiz deve ser compatível com a raiz quadrada real. Vamos lembrar a regra básica:
Aqui
. Portanto a condição para existência de
é
Vou resolver essa desigualdade passo a passo.
Passo 3
Resolver
. Reescrevo:
Agora usamos um fato simples sobre quadrados:
significa que
. Em termos de intervalo isso é
Portanto todos os
entre
e
(inclusive) tornam
não negativo e a raiz bem definida.
Passo 4
Concluímos o domínio:
Um jeito intuitivo de ver isso: se
então
e
, então a raiz não é real.
Passo 5
Agora vamos achar a imagem
, isto é, todos os valores
que aparecem como
quando
varia em
.
Primeiro nota importante sobre a raiz quadrada:
Primeiro nota importante sobre a raiz quadrada:
Logo todos os valores de
são não negativos:
para todo
.
Passo 6
Determinar o máximo possível de
. Observamos que
atinge seu valor máximo quando
é mínimo. No intervalo
, o menor valor de
é
, obtido em
. Então o maior valor de
é
. Assim o maior valor de
é
obtido em
.
O menor valor possível de
ocorre quando
for mínimo (mas ainda
). Em
o mínimo de
é
, obtido em
. Então o menor valor de
é
obtido em
.
Portanto os valores de
variam continuamente de
até
e tomam todos os valores intermediários (porque a função é contínua no intervalo). Logo a imagem é o intervalo fechado de
a
.
Passo 7
Concluímos a imagem:
Passo 8
Agora a injetividade. Primeiro a definição (em linguagem simples):
Ou seja, entradas diferentes não podem dar o mesmo valor de saída.
Vou verificar se existe algum par
em
tal que
. Um fato imediato da fórmula é a simetria em torno de zero:
Isso mostra que todo
e seu oposto
têm a mesma imagem. Para exemplificar com números:
e
mas
. Portanto existe par de entradas distintas com a mesma saída: a função não é injetora no domínio todo
.
Passo 9
Observação adicional útil para a prova: se restringirmos o domínio a
ou a
, a função torna-se injetora (porque nessa meia-bola ela é estritamente decrescente em
ou estritamente decrescente em
se olhar em termos de
negativo — mas não precisamos disso agora, só é bom saber que a falta de injetividade vem da simetria).
Passo 10
Gráfico de
. Uma forma elegante de ver o gráfico é arrancar
da fórmula e rearranjar:
Somando
aos dois lados:
Essa é a equação da circunferência de raio
centrada na origem. A condição
impõe
. Portanto o gráfico de
é exatamente a semicircunferência superior da circunferência de raio
:
Passo 11
Como desenhar à mão (passos práticos):
- Marque o ponto
, o ponto e o ponto . - Desenhe uma curva suave ligando
a passando por , formando a “arco” superior de um círculo de raio . - A curva é simétrica em relação ao eixo
(isto é, espelhada entre e ). - Não há pontos abaixo do eixo
(porque ).
Resposta
a)
\n
b) \n
c) Não; não é injetora, pois
para todo
(ex.:
com
).\n
d) O gráfico é a semicircunferência superior da circunferência unitária: (pontos chave
).
b)
c) Não;
d) O gráfico é a semicircunferência superior da circunferência unitária: