Exercício 0.8 A função f: A \rightarrow B é dada por f(x)=\sqrt{1-x^{2}}
a) Determine o domínio de f, isto é, A=\{x \in \mathbb{R} tal que existe f(x)\}.
b) Determine a imagem de f, isto é, B=f(A).
c) A função f é injetora? Por quê?
d) Trace o gráfico da função f.

Passo 1

O enunciado dá a função f: A \rightarrow B definida por f(x)=\sqrt{1-x^{2}} e pede quatro coisas:
  • (a) Determinar o domínio A, isto é, o conjunto de x\in\mathbb{R} para os quais f(x) existe.
  • (b) Determinar a imagem B=f(A), isto é, os valores possíveis de f(x) quando x varia em A.
  • (c) Dizer se f é injetora e justificar.
  • (d) Traçar (descrever como desenhar) o gráfico de f.
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita f(x)=\sqrt{1-x^{2}}. Não foi dada outra restrição além de que x é real. A raiz quadrada usada é a raiz quadrada principal (sempre não negativa).

Passo 2

Entendendo o que impede f(x) de existir: a expressão dentro da raiz deve ser compatível com a raiz quadrada real. Vamos lembrar a regra básica:
\text{Para que }\sqrt{u}\text{ seja real, precisamos de }u\ge 0.
Aqui u=1-x^{2}. Portanto a condição para existência de f(x) é
1-x^{2}\ge 0.
Vou resolver essa desigualdade passo a passo.

Passo 3

Resolver 1-x^{2}\ge 0. Reescrevo:
1-x^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le 1.
Agora usamos um fato simples sobre quadrados: x^{2}\le 1 significa que |x|\le 1. Em termos de intervalo isso é
-1\le x\le 1.
Portanto todos os x entre -1 e 1 (inclusive) tornam 1-x^{2} não negativo e a raiz bem definida.

Passo 4

Concluímos o domínio:
A=\{x\in\mathbb{R}\mid -1\le x\le 1\}.
Um jeito intuitivo de ver isso: se |x|>1 então x^{2}>1 e 1-x^{2}<0, então a raiz não é real.

Passo 5

Agora vamos achar a imagem B=f(A), isto é, todos os valores y que aparecem como y=f(x)=\sqrt{1-x^{2}} quando x varia em A.
Primeiro nota importante sobre a raiz quadrada:
\sqrt{\cdot}\text{ fornece sempre um valor }\ge 0.
Logo todos os valores de f são não negativos: f(x)\ge 0 para todo x\in A.

Passo 6

Determinar o máximo possível de f(x). Observamos que 1-x^{2} atinge seu valor máximo quando x^{2} é mínimo. No intervalo [-1,1], o menor valor de x^{2} é 0, obtido em x=0. Então o maior valor de 1-x^{2} é 1-0=1. Assim o maior valor de f(x) é
\sqrt{1}=1,
obtido em x=0.
O menor valor possível de f(x) ocorre quando 1-x^{2} for mínimo (mas ainda \ge 0). Em [-1,1] o mínimo de 1-x^{2} é 0, obtido em x=\pm 1. Então o menor valor de f(x) é
\sqrt{0}=0,
obtido em x=\pm 1.
Portanto os valores de f(x) variam continuamente de 0 até 1 e tomam todos os valores intermediários (porque a função é contínua no intervalo). Logo a imagem é o intervalo fechado de 0 a 1.

Passo 7

Concluímos a imagem:
B=f(A)=\{y\in\mathbb{R}\mid 0\le y\le 1\}=[0,1].

Passo 8

Agora a injetividade. Primeiro a definição (em linguagem simples):
\text{Uma função }f\text{ é injetora se }f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}.çãé
Ou seja, entradas diferentes não podem dar o mesmo valor de saída.
Vou verificar se existe algum par x_{1}\neq x_{2} em A tal que f(x_{1})=f(x_{2}). Um fato imediato da fórmula é a simetria em torno de zero:
f(-x)=\sqrt{1-(-x)^{2}}=\sqrt{1-x^{2}}=f(x).
Isso mostra que todo x e seu oposto -x têm a mesma imagem. Para exemplificar com números:
\text{se }x=\tfrac{1}{2}\text{ então }f\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\sqrt{1-(\tfrac{1}{2})^{2}}=\sqrt{\tfrac{3}{4}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2},ã
e
f\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
mas \tfrac{1}{2}\neq -\tfrac{1}{2}. Portanto existe par de entradas distintas com a mesma saída: a função não é injetora no domínio todo [-1,1].

Passo 9

Observação adicional útil para a prova: se restringirmos o domínio a [0,1] ou a [-1,0], a função torna-se injetora (porque nessa meia-bola ela é estritamente decrescente em [0,1] ou estritamente decrescente em [-1,0] se olhar em termos de x negativo — mas não precisamos disso agora, só é bom saber que a falta de injetividade vem da simetria).

Passo 10

Gráfico de f. Uma forma elegante de ver o gráfico é arrancar y=f(x) da fórmula e rearranjar:
y=\sqrt{1-x^{2}}\quad\Longrightarrow\quad y^{2}=1-x^{2}.
Somando x^{2} aos dois lados:
x^{2}+y^{2}=1.
Essa é a equação da circunferência de raio 1 centrada na origem. A condição y=\sqrt{1-x^{2}} impõe y\ge 0. Portanto o gráfico de f é exatamente a semicircunferência superior da circunferência de raio 1:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1,\;y\ge 0\}.

Passo 11

Como desenhar à mão (passos práticos):
  • Marque o ponto (-1,0), o ponto (0,1) e o ponto (1,0).
  • Desenhe uma curva suave ligando (-1,0) a (1,0) passando por (0,1), formando a “arco” superior de um círculo de raio 1.
  • A curva é simétrica em relação ao eixo y (isto é, espelhada entre x e -x).
  • Não há pontos abaixo do eixo x (porque y\ge 0).

Resposta

a) A=\{x\in\mathbb{R}\mid -1\le x\le 1\}\n
b) B=f(A)=[0,1]\n
c) Não; f não é injetora, pois f(x)=f(-x) para todo x\in A (ex.: f(\tfrac{1}{2})=f(-\tfrac{1}{2}) com \tfrac{1}{2}\neq -\tfrac{1}{2}).\n
d) O gráfico é a semicircunferência superior da circunferência unitária: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1,\;y\ge 0\} (pontos chave (-1,0),(0,1),(1,0)).

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