Exercício 0.6 Considere as funções
Determine o conjunto
dos pontos
tais que
.
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
com
. Pede-se determinar o conjunto
de todos os pares
tais que
Ou seja: identificar quais valores de
e
fazem com que as duas composições de funções coincidam (igualdade de funções, isto é, iguais para todo
).
Passo 2
Lembra do que é composição: para duas funções
e
,
e
A igualdade
significa que as duas funções dadas por
e
são idênticas, i.e., produzem o mesmo valor para todo
. Quando lidamos com funções polinomiais (como aqui, linear), igualar duas funções para todo
é equivalente a igualar coeficientes do polinômio correspondente.
Passo 3
Vamos calcular
fazendo a substituição
dentro de
:
Agora expandimos:
Passo 4
Agora calculamos
substituindo
dentro de
:
Expandindo:
Passo 5
A condição
exige que, para todo
,
Isto é uma igualdade de polinômios em
. Quando dois polinômios são iguais para todo
, seus coeficientes correspondentes são iguais. Vamos comparar termos em
e termos constantes.
Passo 6
Comparando coeficiente de
:
o que é sempre verdade e não impõe restrição nova sobre
.
Comparando termos constantes:
Resolvendo essa equação para
:
Passo 7
Portanto a restrição necessária e suficiente para que
é
Isso descreve uma reta no plano
. Em forma paramétrica, os pares podem ser escritos como
Como checagem rápida: se tomarmos
então
; com esses valores
e claramente
, que faz sentido.