Exercício 0.6 Considere as funções
\begin{aligned} & f(x)=2 x+3 \\\ & g(x)=a x+b \end{aligned}
Determine o conjunto C dos pontos (a, b) \in \mathbb{R}^{2} tais que f \circ g=g \circ f.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=2x+3
e
g(x)=ax+b,
com (a,b)\in\mathbb{R}^2. Pede-se determinar o conjunto C de todos os pares (a,b) tais que
f\circ g = g\circ f.
Ou seja: identificar quais valores de a e b fazem com que as duas composições de funções coincidam (igualdade de funções, isto é, iguais para todo x\in\mathbb{R}).

Passo 2

Lembra do que é composição: para duas funções f e g,
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)
e
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).
A igualdade f\circ g = g\circ f significa que as duas funções dadas por x\mapsto f(g(x)) e x\mapsto g(f(x)) são idênticas, i.e., produzem o mesmo valor para todo x. Quando lidamos com funções polinomiais (como aqui, linear), igualar duas funções para todo x é equivalente a igualar coeficientes do polinômio correspondente.

Passo 3

Vamos calcular (f\circ g)(x) fazendo a substituição g(x)=ax+b dentro de f:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=f(ax+b)=2\,(ax+b)+3.
Agora expandimos:
(f\circ g)(x)=2ax+2b+3.

Passo 4

Agora calculamos (g\circ f)(x) substituindo f(x)=2x+3 dentro de g:
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=g(2x+3)=a(2x+3)+b.
Expandindo:
(g\circ f)(x)=2ax+3a+b.

Passo 5

A condição f\circ g = g\circ f exige que, para todo x\in\mathbb{R},
2ax+2b+3 = 2ax+3a+b.
Isto é uma igualdade de polinômios em x. Quando dois polinômios são iguais para todo x, seus coeficientes correspondentes são iguais. Vamos comparar termos em x e termos constantes.

Passo 6

Comparando coeficiente de x:
2a = 2a,
o que é sempre verdade e não impõe restrição nova sobre a.
Comparando termos constantes:
2b+3 = 3a+b.
Resolvendo essa equação para b:
2b+3 = 3a+b \implies 2b - b = 3a - 3 \implies b = 3a - 3.

Passo 7

Portanto a restrição necessária e suficiente para que f\circ g = g\circ f é
b = 3a-3.
Isso descreve uma reta no plano \mathbb{R}^2. Em forma paramétrica, os pares podem ser escritos como
\bigl(a,\,3a-3\bigr),\quad a\in\mathbb{R}.
Como checagem rápida: se tomarmos a=\!1 então b=3\cdot1-3=0; com esses valores g(x)=x e claramente f\circ g=g\circ f=f, que faz sentido.

Resposta

C=\{(a,b)\in\mathbb{R}^2 \mid b=3a-3\}.

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