Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Vetores.
Como verificar que quatro pontos são vértices de um paralelogramo?

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar como verificar se quatro pontos são vértices de um paralelogramo.
Informações relevantes que normalmente são fornecidas (e que vamos usar): as coordenadas dos quatro pontos. Vou chamar os pontos de A, B, C e D e suas coordenadas de \,A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B), C=(x_C,y_C) e D=(x_D,y_D).
Pergunta a responder concretamente: quais cálculos faço, passo a passo, para confirmar (ou negar) que os pontos A,B,C,D formam um paralelogramo?

Passo 2

Conceito básico de vetor entre dois pontos (a ferramenta que vamos usar).
Se P=(x_P,y_P) e Q=(x_Q,y_Q), o vetor do ponto P para o ponto Q é
\vec{PQ} = (x_Q-x_P,\;y_Q-y_P).
Explicação: isso significa que para ir de P a Q você anda x_Q-x_P na direção x e y_Q-y_P na direção y. Esse vetor encoda direção e comprimento (módulo). Em provas, calcular vetores entre pontos é só subtrair coordenadas componente a componente.

Passo 3

Caracterizações práticas e equivalentes de paralelogramo que são fáceis de aplicar em prova. Vou listar 3 testes equivalentes (cada um com uma explicação curta do porquê funciona):
Teste A — lados opostos como vetores iguais:
Um quadrilátero ABCD é paralelogramo se e só se
\vec{AB} = \vec{DC} \qquad\text{e}\qquad \vec{AD} = \vec{BC}.
Interpretação prática: os vetores que representam os lados opostos têm mesma direção e mesmo comprimento. Em conta, calcule \vec{AB} e \vec{DC} e compare componentes; idem para \vec{AD} e \vec{BC}.
Teste B — as diagonais se bissetam (método mais rápido na prática):
ABCD é paralelogramo se e só se os pontos médios das diagonais AC e BD coincidem, isto é,
\frac{A+C}{2}=\frac{B+D}{2},
ou, escrito sem frações,
A + C = B + D.
Aqui A+C significa soma componente a componente das coordenadas. Esse teste é muito prático: calcula-se dois pontos médios e compara-se.
Teste C — soma dos vetores = vetor nulo (fechamento com dois lados):
Outra forma útil é verificar que
\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DA}=\vec{0}.
Observação: essa identidade vale para qualquer quadrilátero cujo vértices estejam na ordem A\to B\to C\to D\to A (é fechamento do polígono). Para afirmar paralelogramo a versão útil é
\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC},
ou ainda testar uma igualdade como \vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BC} que leva às condições de lados opostos. Na prática, prefira Teste A ou B que são mais diretos.

Passo 4

Por que o Teste B (médios das diagonais) é equivalente ao Teste A (lados opostos iguais) — demonstração curta com vetores (útil para entender e justificar em prova):
Partindo de \displaystyle\frac{A+C}{2}=\frac{B+D}{2}, multiplica-se por 2 e obtém-se
A+C=B+D.
Reescrevendo em termos de vetores de posição (subtraindo B+C dos dois lados, por exemplo) obtemos
A-B = D-C,
que é a mesma coisa que
\vec{AB} = \vec{DC}.
Logo a condição dos pontos médios implica que um par de lados opostos é igual como vetores; analogamente obtém-se a outra igualdade de lados opostos. Assim os testes são equivalentes — bom para justificar a resposta curta na prova.

Passo 5

Algoritmo prático (passo a passo que eu faria em prova; escolha o que for mais simples dependendo dos números):
  1. Recebendo A,B,C,D, calcule os vetores \vec{AB} e \vec{DC} usando \vec{PQ}=(x_Q-x_P,y_Q-y_P). Se \vec{AB}=\vec{DC} (componentes iguais) e \vec{AD}=\vec{BC}, conclui-se paralelogramo. Pare aí.
  2. Se quiser cálculo ainda menor, calcule só os pontos médios das diagonais:
M_{AC}=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right), \qquad M_{BD}=\left(\frac{x_B+x_D}{2},\frac{y_B+y_D}{2}\right).
Se M_{AC}=M_{BD} (ambas as coordenadas iguais), é paralelogramo. Esse costuma ser o método mais rápido em prova.
3) Atenção à ordem dos pontos: os testes assumem que A,B,C,D estão na ordem dos vértices do quadrilátero. Se os pontos vierem numa ordem arbitrária, pode ser preciso testar permutações (ou usar o teste dos pontos médios tentando emparelhar vértices opostos — por exemplo testar se existe um pareamento \{A,C\} e \{B,D\} tal que seus pontos médios coincidam). Em questões de prova normalmente os pontos já estão numa ordem natural.

Passo 6

Exemplo numérico completo (para treinar fazendo exatamente como em prova). Considere
A=(1,1),\quad B=(4,2),\quad C=(3,5),\quad D=(0,4).
Aplicando o Teste A (vetores dos lados):
\vec{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)=(4-1,\,2-1)=(3,1),
\vec{DC}=(x_C-x_D,y_C-y_D)=(3-0,\,5-4)=(3,1).
Como \vec{AB}=\vec{DC}=(3,1) já temos confirmação de um par de lados opostos iguais. Verificando o outro par:
\vec{AD}=(x_D-x_A,y_D-y_A)=(0-1,\,4-1)=(-1,3),
\vec{BC}=(x_C-x_B,y_C-y_B)=(3-4,\,5-2)=(-1,3).
Como \vec{AD}=\vec{BC}=(-1,3), ambos os pares de lados opostos correspondem, logo ABCD é paralelogramo.
Aplicando o Teste B (confirmação rápida via pontos médios):
M_{AC}=\left(\frac{1+3}{2},\frac{1+5}{2}\right)=(2,3),
M_{BD}=\left(\frac{4+0}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(2,3).
Os pontos médios coincidem, confirmando o paralelogramo. Use o método que for mais curto nos números dados.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (truques que salvam tempo e evitam erro):
  • Se quiser o método com menos operações aritméticas, faça os pontos médios das diagonais (duas somas e divisão por 2 por coordenada).
  • Sempre compare componente a componente; não tente comparar apenas módulos ou só a inclinação (dá margem a erro com sinais).
  • Se os pontos estiverem desordenados, tente identificar possíveis pares opostos (por exemplo, calcule todos os três pontos médios possíveis e veja se algum coincide).
  • Esses testes funcionam em qualquer dimensão (plano ou espaço 3D) com as mesmas fórmulas por componentes.

Resposta

Quatro pontos A,B,C,D são vértices de um paralelogramo se e só se, por exemplo, \vec{AB}=\vec{DC} e \vec{AD}=\vec{BC}, ou equivalentemente se o ponto médio da diagonal AC for igual ao ponto médio da diagonal BD (i.e.\ A+C=B+D).

Exercícios relacionados