Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Vetores.
Como verificar que quatro pontos são vértices de um paralelogramo?
Como verificar que quatro pontos são vértices de um paralelogramo?
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar como verificar se quatro pontos são vértices de um paralelogramo.
Informações relevantes que normalmente são fornecidas (e que vamos usar): as coordenadas dos quatro pontos. Vou chamar os pontos de ,
,
e
e suas coordenadas de
,
,
e
.
Pergunta a responder concretamente: quais cálculos faço, passo a passo, para confirmar (ou negar) que os pontos formam um paralelogramo?
Informações relevantes que normalmente são fornecidas (e que vamos usar): as coordenadas dos quatro pontos. Vou chamar os pontos de
Pergunta a responder concretamente: quais cálculos faço, passo a passo, para confirmar (ou negar) que os pontos
Passo 2
Conceito básico de vetor entre dois pontos (a ferramenta que vamos usar).
Se e
, o vetor do ponto
para o ponto
é
Se
Explicação: isso significa que para ir de
a
você anda
na direção
e
na direção
. Esse vetor encoda direção e comprimento (módulo). Em provas, calcular vetores entre pontos é só subtrair coordenadas componente a componente.
Passo 3
Caracterizações práticas e equivalentes de paralelogramo que são fáceis de aplicar em prova. Vou listar 3 testes equivalentes (cada um com uma explicação curta do porquê funciona):
Teste A — lados opostos como vetores iguais:
Um quadrilátero é paralelogramo se e só se
Um quadrilátero
Interpretação prática: os vetores que representam os lados opostos têm mesma direção e mesmo comprimento. Em conta, calcule
e
e compare componentes; idem para
e
.
Teste B — as diagonais se bissetam (método mais rápido na prática):
é paralelogramo se e só se os pontos médios das diagonais
e
coincidem, isto é,
ou, escrito sem frações,
Aqui
significa soma componente a componente das coordenadas. Esse teste é muito prático: calcula-se dois pontos médios e compara-se.
Teste C — soma dos vetores = vetor nulo (fechamento com dois lados):
Outra forma útil é verificar que
Outra forma útil é verificar que
Observação: essa identidade vale para qualquer quadrilátero cujo vértices estejam na ordem
(é fechamento do polígono). Para afirmar paralelogramo a versão útil é
ou ainda testar uma igualdade como
que leva às condições de lados opostos. Na prática, prefira Teste A ou B que são mais diretos.
Passo 4
Por que o Teste B (médios das diagonais) é equivalente ao Teste A (lados opostos iguais) — demonstração curta com vetores (útil para entender e justificar em prova):
Partindo de , multiplica-se por
e obtém-se
Partindo de
Reescrevendo em termos de vetores de posição (subtraindo
dos dois lados, por exemplo) obtemos
que é a mesma coisa que
Logo a condição dos pontos médios implica que um par de lados opostos é igual como vetores; analogamente obtém-se a outra igualdade de lados opostos. Assim os testes são equivalentes — bom para justificar a resposta curta na prova.
Passo 5
Algoritmo prático (passo a passo que eu faria em prova; escolha o que for mais simples dependendo dos números):
- Recebendo
, calcule os vetores e usando . Se (componentes iguais) e , conclui-se paralelogramo. Pare aí. - Se quiser cálculo ainda menor, calcule só os pontos médios das diagonais:
Se
(ambas as coordenadas iguais), é paralelogramo. Esse costuma ser o método mais rápido em prova.
3) Atenção à ordem dos pontos: os testes assumem que estão na ordem dos vértices do quadrilátero. Se os pontos vierem numa ordem arbitrária, pode ser preciso testar permutações (ou usar o teste dos pontos médios tentando emparelhar vértices opostos — por exemplo testar se existe um pareamento
e
tal que seus pontos médios coincidam). Em questões de prova normalmente os pontos já estão numa ordem natural.
3) Atenção à ordem dos pontos: os testes assumem que
Passo 6
Exemplo numérico completo (para treinar fazendo exatamente como em prova). Considere
Aplicando o Teste A (vetores dos lados):
Como
já temos confirmação de um par de lados opostos iguais. Verificando o outro par:
Como
, ambos os pares de lados opostos correspondem, logo
é paralelogramo.
Aplicando o Teste B (confirmação rápida via pontos médios):
Os pontos médios coincidem, confirmando o paralelogramo. Use o método que for mais curto nos números dados.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (truques que salvam tempo e evitam erro):
- Se quiser o método com menos operações aritméticas, faça os pontos médios das diagonais (duas somas e divisão por
por coordenada). - Sempre compare componente a componente; não tente comparar apenas módulos ou só a inclinação (dá margem a erro com sinais).
- Se os pontos estiverem desordenados, tente identificar possíveis pares opostos (por exemplo, calcule todos os três pontos médios possíveis e veja se algum coincide).
- Esses testes funcionam em qualquer dimensão (plano ou espaço 3D) com as mesmas fórmulas por componentes.
Resposta
Quatro pontos
são vértices de um paralelogramo se e só se, por exemplo,
e
, ou equivalentemente se o ponto médio da diagonal
for igual ao ponto médio da diagonal
(i.e.\
).