Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Vetores.
Utilizando vetores, como verificar que três pontos são colineares?

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar, usando vetores, como verificar se três pontos são colineares.
Informações típicas que recebemos (podem variar no enunciado da prova): coordenadas dos três pontos no plano ou no espaço, por exemplo A(x_A,y_A), B(x_B,y_B), C(x_C,y_C) em \mathbb{R}^2 ou A(x_A,y_A,z_A), B(x_B,y_B,z_B), C(x_C,y_C,z_C) em \mathbb{R}^3.
O que se pergunta exatamente: dado esses três pontos, qual procedimento vetorial aplicar (passo a passo) para concluir se eles estão sobre a mesma reta (colineares) ou não.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicadinho):
  • Vetor posição e vetor deslocamento: se A e B têm coordenadas, o vetor que vai de A a B é \vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}. Isso significa subtrair coordenada por coordenada: em \mathbb{R}^2
\vec{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A),
em \mathbb{R}^3
\vec{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A).
  • Colinearidade vetorial: três pontos A,B,C são colineares se e só se os vetores \vec{AB} e \vec{AC} são paralelos (ou seja, têm a mesma direção). Dois vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro (ex.: \vec{AC}=t\vec{AB} para algum escalar t\in\mathbb{R}).

Passo 3

Método 1 — verificar se um vetor é múltiplo escalar do outro (prático e direto):
  1. Calcule \vec{AB} e \vec{AC} usando a fórmula acima.
  2. Teste se existe t\in\mathbb{R} tal que \vec{AC}=t\vec{AB}. Em componentes isso vira, em \mathbb{R}^2,
x_C-x_A = t(x_B-x_A),\qquad y_C-y_A = t(y_B-y_A).
Você resolve para t usando uma das equações (se o componente escolhido não for zero) e checa se o mesmo t satisfaz a outra. Em \mathbb{R}^3 há três igualdades de componentes — todas devem ser compatíveis com o mesmo t.
3) Se existe t que satisfaz todas as componentes, os vetores são paralelos e os pontos são colineares. Caso contrário, não são.
Dica prática para a prova (evita divisão por zero):
  • Se uma componente de \vec{AB} for zero, use outra componente para obter t. Se todas as componentes de \vec{AB} forem zero então A e B coincidem; aí verifique se C=A (então trivially colineares) ou não (então não dá para falar em reta única entre A e B, trate como caso especial).
Exemplo numérico completo (faça igual na prova):
Se A(1,1), B(2,3), C(3,5).
Calcule
\vec{AB}=(2-1,\;3-1)=(1,\;2), \qquad \vec{AC}=(3-1,\;5-1)=(2,\;4).
Tente achar t tal que (2,4)=t(1,2). Pela primeira componente 2=t\cdot1 t=2. Pela segunda componente 4=t\cdot2 t=2. Mesmo t em ambas, logo \vec{AC}=2\vec{AB} e A,B,C são colineares.

Passo 4

Método 2 — usando o produto vetorial em \mathbb{R}^3 (muito útil quando os pontos têm coordenadas em 3D):
  • Propriedade usada: dois vetores em \mathbb{R}^3 são paralelos se e somente se seu produto vetorial é o vetor nulo: \vec{AB}\times\vec{AC}=\vec{0}.
  • Procedimento: calcule \vec{AB} e \vec{AC} em \mathbb{R}^3 e compute o produto vetorial (determinante com os versores). Se o resultado for \vec{0} (todas componentes iguais a zero), os vetores são paralelos e os pontos são colineares.
  • Observação prática: se o problema der pontos 2D, trate-os como 3D com z=0; o produto vetorial terá apenas componente z possivelmente não nula, e checar se essa componente é zero basta.
Exemplo rápido (mesmos pontos estendidos a 3D com z=0):
\vec{AB}=(1,2,0),\qquad \vec{AC}=(2,4,0).
O produto vetorial é
\vec{AB}\times\vec{AC}=(1,2,0)\times(2,4,0)=(0,0,1\cdot4-2\cdot2)=(0,0,0),
portanto colineares.

Passo 5

Método 3 — determinante / área do triângulo em \mathbb{R}^2 (fórmula rápida em prova):
  • Ideia: três pontos são colineares exatamente quando a área do triângulo formado por eles é zero. A área pode ser obtida pela metade do valor absoluto do determinante formado pelos vetores \vec{AB} e \vec{AC}.
  • Fórmula: em \mathbb{R}^2,
\text{Área}=\tfrac12\left| \det\begin{pmatrix} x_B-x_A & x_C-x_A \\[4pt] y_B-y_A & y_C-y_A \end{pmatrix}\right|.Á
Se esse determinante é zero então a área é zero e os pontos são colineares.
  • Em termos de coordenadas explícitas, o determinante vale
(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A).
Exemplo com os mesmos pontos:
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]2 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-2\cdot2=0,
logo área zero e pontos colineares.]

Passo 6

Casos especiais e cuidados práticos (o que a prova pode “pegar” você):
  • Se A=B ou A=C ou B=C (pontos coincidentes), trate como caso especial: se dois pontos iguais e o terceiro diferente, tecnicamente não formam um segmento único bem definido para testar paralelismo — mas costuma-se dizer que qualquer par formado por um ponto distinto e o coincidente dá colinearidade se o terceiro também estiver na mesma linha; cheque a intenção do problema. Em exames, frequentemente se exige que os três pontos sejam distintos; se não forem, comente isso e aplique o critério logo em seguida.
  • Evite dividir por zero ao tentar achar t: compare componentes e use condições de igualdade em vez de dividir quando houver risco. Por exemplo, para \vec{AC}=t\vec{AB} compare produtos cruzados entre componentes ou use o determinante/cross product para contornar divisões.
  • Em computação numérica, permita uma tolerância (ex.: |\text{det}|<\varepsilon) se os números vêm de cálculos aproximados. Na prova, normalmente trabalham com inteiros/racionais exatos, então igualdade exata é esperada.

Passo 7

Resumo prático e rápido para levar à prova (checklist que você pode decorar):
  1. Calcule \vec{AB} e \vec{AC}.
  2. Tente achar t tal que \vec{AC}=t\vec{AB}. Se existir, os pontos são colineares. (método direto)
  3. Alternativa 1: em \mathbb{R}^3, calcule \vec{AB}\times\vec{AC}; se for \vec{0}, colineares.
  4. Alternativa 2 (2D): calcule o determinante
(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A).
Se for zero, colineares.
Use o método que for mais rápido dependendo do que o enunciado dá (2D: determinante é normalmente o mais rápido; 3D: cross product).

Resposta

Três pontos A,B,C são colineares se, e somente se, os vetores \vec{AB} e \vec{AC} são paralelos. Equivalentes de verificação práticos:
\vec{AC}=t\vec{AB} para algum t\in\mathbb{R};
ou \vec{AB}\times\vec{AC}=\vec{0} em \mathbb{R}^3;
ou (x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)=0 em \mathbb{R}^2.

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