Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Vetores.
Como verificar que dois vetores são paralelos? Exemplifique.

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas: (1) como verificar se dois vetores são paralelos; (2) mostrar um exemplo. Não há outros dados numéricos obrigatórios — devo explicar o procedimento e então exemplificar com vetores concretos.

Passo 2

Definição prática e a ideia-chave (a ferramenta que vai resolver tudo).
Dois vetores \mathbf{v} e \mathbf{w} são paralelos quando apontam na mesma direção ou em direções exatamente opostas. Em álgebra vetorial isso significa que existe um número real k tal que
\mathbf{w}=k\mathbf{v}.
Aqui k é chamado de múltiplo escalar. Se k>0 eles têm mesma direção; se k<0 têm direção oposta; se k=0 então \mathbf{w} é o vetor zero.

Passo 3

Método direto (usar componentes) — passo a passo e por que funciona.
  • Escreva os vetores por componentes, por exemplo \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) e \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) (se estiver em 2D, ignore a terceira componente).
  • Se existir k com \mathbf{w}=k\mathbf{v}, então para cada componente vale w_i=k\,v_i.
  • Logo, para verificar, calcule as razões \dfrac{w_i}{v_i} para os índices i em que v_i\neq0. Se todas as razões forem iguais ao mesmo valor k (e as componentes onde v_i=0 tiverem também w_i=0), então \mathbf{w}=k\mathbf{v} e os vetores são paralelos.
  • Atenção: evite divisão por zero — escolha um componente de \mathbf{v} que seja não nulo para iniciar a razão; depois verifique as outras.
Exemplo 1 (2D, caso simples):
Considere \mathbf{v}=(2,3) e \mathbf{w}=(4,6).
Calcule \dfrac{w_1}{v_1}=\dfrac{4}{2}=2 e \dfrac{w_2}{v_2}=\dfrac{6}{3}=2.
As razões são iguais a k=2, logo \mathbf{w}=2\mathbf{v} e os vetores são paralelos.

Passo 4

Exemplo com direção oposta e com zero:
Considere \mathbf{v}=(3,-2,5) e \mathbf{w}=(-6,4,-10).
Calcule as razões usando componentes onde v_i\neq0:
\dfrac{w_1}{v_1}=\dfrac{-6}{3}=-2,\qquad \dfrac{w_2}{v_2}=\dfrac{4}{-2}=-2,\qquad \dfrac{w_3}{v_3}=\dfrac{-10}{5}=-2.
Todas iguais a k=-2. Logo \mathbf{w}=-2\mathbf{v}; são paralelos, apontando em direções opostas.
Se um dos vetores for \mathbf{0}=(0,0,\dots,0), por convenção ele é paralelo a qualquer vetor (pois \mathbf{0}=0\cdot\mathbf{v}) — verifique se a sua prova/avaliação usa essa convenção, às vezes ela é explicitada.

Passo 5

Método alternativo 2D: determinante (teste rápido sem divisões).
Para \mathbf{v}=(v_1,v_2) e \mathbf{w}=(w_1,w_2), calcule o determinante
\Delta=v_1w_2-v_2w_1.
Se \Delta=0 então os vetores são colineares/paralelos (a área do paralelogramo formado por eles é zero). Exemplo com \mathbf{v}=(2,3) e \mathbf{w}=(4,6):
\Delta=2\cdot6-3\cdot4=12-12=0,
logo são paralelos.

Passo 6

Método alternativo 3D: produto vetorial (cross product).
Para \mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3, os vetores são paralelos se e somente se o produto vetorial for o vetor nulo:
\mathbf{v}\times\mathbf{w}=\mathbf{0}.
O produto vetorial pode ser calculado por determinante formal:
\mathbf{v}\times\mathbf{w}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3\\[4pt] w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix},
e se o resultado for (0,0,0) então são paralelos. Exemplo: \mathbf{v}=(1,2,-1), \mathbf{w}=(2,4,-2). O produto vetorial dá \mathbf{0} (cada componente cancela), confirmando paralelismo.]

Passo 7

Dicas práticas para prova (modo rápido e seguro):
  • Primeiro olhe se um vetor é múltiplo óbvio do outro (inteiro ou simples fração). É o caso mais rápido.
  • Se houver zeros, compare componentes correspondentes; se v_i=0 então é necessário que w_i=0 também para existir k.
  • Em 2D use o determinante quando não quiser fazer divisões (bom para números inteiros).
  • Em 3D o produto vetorial é uma condição muito usada e compacta: se der \mathbf{0}, são paralelos.
  • Sempre justifique (no papel) mostrando o k encontrado ou mostrando \Delta=0 ou \mathbf{v}\times\mathbf{w}=\mathbf{0}.

Passo 8

Recapitulando de forma curta e amigável: para provar que dois vetores são paralelos mostre que um é múltiplo escalar do outro, ou use determinante (2D) ou produto vetorial (3D). Você está no caminho certo — na prova, comece testando a proporção entre componentes; geralmente resolve rapidinho.

Resposta

Dois vetores são paralelos se existir um escalar k tal que \mathbf{w}=k\mathbf{v}. Exemplo: \mathbf{v}=(2,3), \mathbf{w}=(4,6)=2\mathbf{v}, portanto são paralelos.

Exercícios relacionados