Exercício 3: A hélice cilíndrica
Considere a parametrização
.
(a) Plote a curva. Sobre qual superfície esta curva está “enrolada”? Dê a equação cartesiana dessa superfície.
(b) Olhando a curva “de cima” (ou seja, projetada no plano
), que forma geométrica você vê?
(c) O que acontece com a hélice se mudarmos a terceira componente para
? E para
? O que o coeficiente da componente
controla?
Considere a parametrização
(a) Plote a curva. Sobre qual superfície esta curva está “enrolada”? Dê a equação cartesiana dessa superfície.
(b) Olhando a curva “de cima” (ou seja, projetada no plano
(c) O que acontece com a hélice se mudarmos a terceira componente para
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
e pede: (a) plotar a curva e descobrir em que superfície ela está enrolada, dando a equação cartesiana; (b) ver a forma da projeção no plano
; (c) analisar o efeito de trocar a terceira componente para
e para
e interpretar o coeficiente em
.
Passo 2
Note que
e
descrevem uma circunferência de raio 1 no plano
, enquanto
faz a curva subir conforme
aumenta. Assim, a hélice está enrolada em um cilindro de raio constante 1.
Para achar a equação cartesiana do cilindro basta usar
Para achar a equação cartesiana do cilindro basta usar
e lembrar que
. Logo a superfície é
Passo 3
Ao olhar a hélice de cima, projetando no plano
, descartamos a coordenada
e ficamos com
que é a parametrização de uma circunferência de raio 1.
Passo 4
Se trocarmos
por
, a hélice sobe bem devagar, então as voltas ficam mais espaçadas horizontalmente e pouco separadas verticalmente. Para
, ela sobe rápido, com as voltas comprimidas em
mas bem separadas em
.
Em geral, num parâmetro , o coeficiente
controla a inclinação da hélice e o passo (pitch), isto é, a distância vertical entre voltas consecutivas é
Em geral, num parâmetro
Resposta
(a) A hélice está enrolada no cilindro de equação
(b) De cima aparece uma circunferência de raio 1 descrita por
.
(c) O coeficiente da componente determina a inclinação e o espaçamento vertical entre voltas: para
a hélice sobe lentamente, e para
ela sobe rapidamente.
(c) O coeficiente da componente