Exercício 3: A hélice cilíndrica
Considere a parametrização \sigma(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t), \operatorname{com} t \in[0,4 \pi].
(a) Plote a curva. Sobre qual superfície esta curva está “enrolada”? Dê a equação cartesiana dessa superfície.
(b) Olhando a curva “de cima” (ou seja, projetada no plano x y ), que forma geométrica você vê?
(c) O que acontece com a hélice se mudarmos a terceira componente para z(t)=0.1 t ? E para z(t)=5 t ? O que o coeficiente da componente z controla?

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
\sigma(t) = (\cos t,\;\operatorname{sen}t,\;t),\quad t\in[0,4\pi]
e pede: (a) plotar a curva e descobrir em que superfície ela está enrolada, dando a equação cartesiana; (b) ver a forma da projeção no plano xy; (c) analisar o efeito de trocar a terceira componente para z(t)=0,1t e para z(t)=5t e interpretar o coeficiente em z.

Passo 2

Note que \cos t e \operatorname{sen}t descrevem uma circunferência de raio 1 no plano xy, enquanto z=t faz a curva subir conforme t aumenta. Assim, a hélice está enrolada em um cilindro de raio constante 1.
Para achar a equação cartesiana do cilindro basta usar
x(t)=\cos t,\quad y(t)=\operatorname{sen}t
e lembrar que \cos^2t+\operatorname{sen}^2t=1. Logo a superfície é
x^2 + y^2 = 1.

Passo 3

Ao olhar a hélice de cima, projetando no plano xy, descartamos a coordenada z e ficamos com
(x,y) = (\cos t,\;\operatorname{sen}t),
que é a parametrização de uma circunferência de raio 1.

Passo 4

Se trocarmos z(t) por z(t)=0,1t, a hélice sobe bem devagar, então as voltas ficam mais espaçadas horizontalmente e pouco separadas verticalmente. Para z(t)=5t, ela sobe rápido, com as voltas comprimidas em xy mas bem separadas em z.
Em geral, num parâmetro z(t)=c\,t, o coeficiente c controla a inclinação da hélice e o passo (pitch), isto é, a distância vertical entre voltas consecutivas é
\Delta z = c\,(2\pi).

Resposta

(a) A hélice está enrolada no cilindro de equação
x^2 + y^2 = 1.
(b) De cima aparece uma circunferência de raio 1 descrita por (\cos t,\operatorname{sen}t).
(c) O coeficiente da componente z determina a inclinação e o espaçamento vertical entre voltas: para z(t)=0,1t a hélice sobe lentamente, e para z(t)=5t ela sobe rapidamente.

Exercícios relacionados