Exercício 6: Sua assinatura paramétrica
Crie uma parametrização (pode ser por partes) para desenhar as iniciais do seu nome ou uma forma simples (exemplo: uma casa, uma estrela). O objetivo aqui é a experimentação.
(a) Apresente as equações que você criou.
(b) Mostre o gráfico resultante.
(c) Explique brevemente como você pensou para construir as equações (exemplo: Para a letra “L”, usei um segmento de reta vertical e depois um horizontal…).

Passo 1

O enunciado pede para criar uma parametrização, possivelmente por partes, que desenhe as iniciais do nome ou uma forma simples, apresentar as equações, mostrar o gráfico e explicar o raciocínio. Aqui vamos usar curvas paramétricas em [0,4] divididas em quatro segmentos de reta para desenhar a letra “M”.

Passo 2

Definimos \bigl(x(t),y(t)\bigr)\) de forma piecewise em quatro trechos de tamanho igual: \[\begin{cases} x(t)=0,\\\ y(t)=t, \end{cases} & t\in[0,1], \quad \begin{cases} x(t)=0.5\,(t-1),\\\ y(t)=1-0.5\,(t-1), \end{cases} & t\in[1,2], \\[6pt] \begin{cases} x(t)=0.5\,(t-2)+0.5,\\\ y(t)=0.5\,(t-2)+0.5, \end{cases} & t\in[2,3], \quad \begin{cases} x(t)=1,\\\ y(t)=1-(t-3), \end{cases} & t\in[3,4].
No primeiro trecho subimos verticalmente de (0,0)\] a \((0,1). No segundo, descemos em diagonal até (0.5,0.5). No terceiro, subimos em diagonal até (1,1). No quarto, descemos verticalmente até (1,0).]

Passo 3

Para visualizar, um script em Python/Matplotlib seria:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t\(1=\) np.linspace(0,1,100)
t\(2=\) np.linspace(1,2,100)
t\(3=\) np.linspace(2,3,100)
t\(4=\) np.linspace(3,4,100)

x1,y\(1=0\)*np.\(ones_like\)(t1), t1
x2,y\(2=0.5\)*(t2-1), 1-0.5*(t2-1)
x3,y\(3=0.5\)*(t3-2)\(+0.5\), 0.5*(t3-2)\(+0.5\)
x4,y\(4=\) np.\(ones_like\)(t4), 1-(t4-3)

plt.plot(np.concatenate([x1,x2,x3,x4]), np.concatenate([y1,y2,y3,y4]), '-k')
plt.axis('equal'); plt.axis('off')
plt.show()
O gráfico resultante é a letra “M”, formada pelos quatro segmentos de reta.

Passo 4

Para construir cada trecho eu pensei assim:
  • de t=0 a 1: reta vertical subindo em x=0;
  • de t=1 a 2: reta diagonal descendo até meio ponto (0.5,0.5);
  • de t=2 a 3: reta diagonal subindo até (1,1);
  • de t=3 a 4: reta vertical descendo em x=1.

Resposta

(a) As equações paramétricas são
(x(t),y(t))= \begin{cases} (0,\,t), & t\in[0,1],\\\ \bigl(0.5(t-1),\,1-0.5(t-1)\bigr), & t\in[1,2],\\\ \bigl(0.5(t-2)+0.5,\,0.5(t-2)+0.5\bigr), & t\in[2,3],\\\ (1,\,1-(t-3)), & t\in[3,4]. \end{cases}
(b) O gráfico é a letra “M”, conforme o script Python acima, que produz quatro segmentos conectados formando o “M”.
(c) Usei um segmento vertical para subir, depois um inclinado para descer ao meio, outro inclinado para subir ao topo, e finalmente um segmento vertical para descer, completando o “M”.

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