Calcule as seguintes integrais.
\int c^{a x} \cos b x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int c^{a x}\cos(bx)\,dx
onde a, b e c são constantes. Esse problema envolve integração de um produto de uma função exponencial e cosseno, que pode ser reduzido ao caso padrão de \int e^{k x}\cos(mx)\,dx.

Passo 2

Primeiro, escrevemos c^{a x} em termos de exponencial natural:
c^{a x} = e^{a x \ln\text{(c)}}.
Definindo
k = a\ln\text{(c)}, \quad m = b,
a integral torna-se
\int e^{k x}\cos(m x)\,dx.

Passo 3

Usamos o resultado padrão (que se obtém por integração por partes ou por método complexo):
\int e^{k x}\cos(m x)\,dx = \frac{e^{k x}}{k^2 + m^2}\bigl(k\cos(m x) + m\sin(m x)\bigr) + C.

Passo 4

Voltando às variáveis originais, substituímos k = a\ln\text{(c)}, m = b e e^{k x} = c^{a x}. Assim,
\int c^{a x}\cos(b x)\,dx = \frac{c^{a x}}{\bigl(a\ln\text{(c)}\bigr)^2 + b^2} \Bigl(a\ln\text{(c)}\,\cos(b x) + b\,\sin(b x)\Bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int c^{a x}\cos(b x)\,dx = \frac{c^{a x}}{\bigl(a\ln\text{(c)}\bigr)^2 + b^2} \bigl(a\ln\text{(c)}\cos(b x) + b\sin(b x)\bigr) + C }.

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