• Exercício II: Representar os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga dada. Adicionalmente:
    (a) Determine V e M na viga em um ponto localizado a 1,5 \mathrm{~m} à direita de B ;

Passo 1

O enunciado pede: representar os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga dada e, adicionalmente, determinar a força cortante V e o momento fletor M num ponto localizado a 1{,}5\\ \mathrm{m} à direita do apoio B.
Informações fornecidas (peguei os dados da imagem enviada):
  • Há uma viga com apoio em B (pino) e em D (rolamento), com um balanço à esquerda de 3\\ \mathrm{m} (ponto A) e um balanço à direita de 3\\ \mathrm{m} (ponto E).
  • Distâncias ao longo da viga (medidas a partir da extremidade esquerda A):
    • A até B: 3\\ \mathrm{m}.
    • B até o ponto de momento concentrado 150\\ \mathrm{kN\cdot m}: 6\\ \mathrm{m} (logo esse momento está a 9\\ \mathrm{m} de A).
    • Do ponto do momento até D: 3\\ \mathrm{m} (portanto D a 12\\ \mathrm{m} de A).
    • D até E: 3\\ \mathrm{m} (logo E a 15\\ \mathrm{m} de A).
  • Cargas aplicadas (da esquerda para a direita):
    • Carga concentrada para baixo de 52\\ \mathrm{kN} em A (em x=0).
    • Carga distribuída uniforme w=35\\ \mathrm{kN/m} atuando de x=3\\ \mathrm{m} até x=9\\ \mathrm{m} (comprimento 6\\ \mathrm{m}).
    • Momento concentrado 150\\ \mathrm{kN\cdot m} (sentido horário) em x=9\\ \mathrm{m}.
    • Apoio D em x=12\\ \mathrm{m} (rolamento) e carga concentrada para baixo de 36\\ \mathrm{kN} em x=15\\ \mathrm{m} (ponto E).
  • Ponto de interesse: ponto localizado 1{,}5\\ \mathrm{m} à direita de B, isto é, em x=3+1{,}5=4{,}5\\ \mathrm{m} medidos a partir de A.

Passo 2

Estratégia para resolver (sem pular etapas): primeiro determinamos as reações verticais em B e D pela estática da viga inteira (equilíbrio de forças verticais e momentos). Depois fazemos uma seção na posição requerida ( 1{,}5\\ \mathrm{m} à direita de B ) e aplicamos equilíbrio do corpo à esquerda da seção para obter a força cortante V e o momento fletor M naquele ponto.
Lembrete teórico rápido (útil pra prova):
  • Equilíbrio estático: \sum F_y = 0 e \sum M = 0.
  • A resultante de uma carga distribuída uniforme w sobre comprimento L vale W = wL e atua no ponto médio do trecho (distância L/2 desde o início do trecho).
  • Para obter força cortante numa seção: some todas as forças verticais à esquerda (tomando sinal adequado).
  • Para obter momento fletor numa seção: some os momentos das forças à esquerda em relação à seção (usar distâncias até a seção).

Passo 3

Calcular as cargas equivalentes e soma das forças verticais:
  • Resultante da UDL w=35\\ \mathrm{kN/m} sobre L=6\\ \mathrm{m}: W = wL = 35\cdot 6 = 210\\ \mathrm{kN}.
  • Forças verticais para baixo totais aplicadas: 52 + 210 + 36 = 298\\ \mathrm{kN}.
  • Reações verticais V_B e V_D devem satisfazer: V_B + V_D = 298\\ \mathrm{kN}.

Passo 4

Equilíbrio de momentos (escolhemos somar momentos em torno de B para encontrar V_D). Tomamos convenção: momento positivo no sentido anti-horário. Considere os braços (distâncias horizontais) em relação a B:
  • carga 52\\ \mathrm{kN} em A está a 3\\ \mathrm{m} à esquerda de B.
  • resultante da UDL 210\\ \mathrm{kN} atua a 3\\ \mathrm{m} à direita de B (centro do trecho 3 m adiante).
  • momento concentrado 150\\ \mathrm{kN\cdot m} em x=9\\ \mathrm{m} está a 6\\ \mathrm{m} à direita de B; ele é aplicado no sentido horário (portanto, contribui como momento negativo).
  • carga 36\\ \mathrm{kN} em E está a 12\\ \mathrm{m} à direita de B.
  • reação V_D está a 12\\ \mathrm{m} à direita de B.
Escrevendo \sum M_B=0 (positiva anticlockwise):
V_D\cdot 12 - 52\cdot 3 - 210\cdot 3 -150 -36\cdot 12 = 0.
Agora calculamos os termos:
  • 52\cdot 3 = 156.
  • 210\cdot 3 = 630.
  • 36\cdot 12 = 432.
    Somando os termos negativos: 156+630+150+432 = 1368.
Então:
12\,V_D - 1368 = 0 \quad\Rightarrow\quad V_D = \frac{1368}{12} = 114\\ \mathrm{kN}.

Passo 5

Encontrar V_B usando \sum F_y=0:
V_B + V_D - (52 + 210 + 36) = 0
V_B + 114 - 298 = 0 \quad\Rightarrow\quad V_B = 298 - 114 = 184\\ \mathrm{kN}.
Agora temos as reações: V_B = 184\\ \mathrm{kN} (para cima) e V_D = 114\\ \mathrm{kN} (para cima).

Passo 6

Explicação didática sobre força cortante e momento na seção:
  • Para obter a força cortante V em uma seção, podemos tomar o F.S. (free body) da parte da viga à esquerda da seção e somar as forças verticais (tomando positivas as forças para cima). Esse valor é a força cortante interna na seção (sinal positivo indica que a resultante é para cima na face esquerda).
  • Para obter o momento fletor M em uma seção, tomamos o F.S. da parte esquerda e somamos os momentos de todas as forças externas naquele trecho em relação à seção. Momentos que tendem a girar no sentido anti-horário tomam-se positivos (ou conforme a convenção adotada; aqui tomamos positivo o momento que causa concavidade para cima — sagging — e usamos a soma algébrica conforme mostrado).
No nosso caso a seção pedida está a=1{,}5\\ \mathrm{m} à direita de B, ou seja em x=4{,}5\\ \mathrm{m} de A. Vamos usar o corpo à esquerda da seção (contendo A e B e parte da UDL até a seção).

Passo 7

Forças presentes à esquerda da seção (até x=4{,}5\\ \mathrm{m}):
  • Carga concentrada em A: 52\\ \mathrm{kN} para baixo, distância até a seção: 4{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Reação em B: V_B=184\\ \mathrm{kN} para cima, distância até a seção: a=1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Parte da UDL entre B e a seção: comprimento a=1{,}5\\ \mathrm{m}, resultante W_a = w\cdot a = 35\cdot 1{,}5 = 52{,}5\\ \mathrm{kN} para baixo, atuando a 0{,}75\\ \mathrm{m} à direita de B (ou seja a 0{,}75\\ \mathrm{m} à esquerda da seção).
Cálculo da força cortante V na seção (soma das forças verticais à esquerda, tomando positivo para cima):
V = V_B - 52 - W_a = 184 - 52 - 52{,}5 = 79{,}5\\ \mathrm{kN}.
Portanto a força cortante na seção é 79{,}5\\ \mathrm{kN} para cima (sinal positivo conforme adotado).

Passo 8

Cálculo do momento fletor M na seção (somando momentos das forças à esquerda em relação à seção; tomamos momentos positivos anti-horário):
Contribuições:
  • Reação em B (para cima) a 1{,}5\\ \mathrm{m} da seção: momento M_{B}=V_B\cdot a = 184\cdot 1{,}5 = 276\\ \mathrm{kN\cdot m} (tende a girar anti-horário).
  • Carga em A (para baixo) a 4{,}5\\ \mathrm{m} da seção: momento M_A = -52\cdot 4{,}5 = -234\\ \mathrm{kN\cdot m} (tende a girar horário).
  • Resultante parcial da UDL W_a =52{,}5\\ \mathrm{kN} atuando a 0{,}75\\ \mathrm{m} da seção (isto é, 0{,}75\\ \mathrm{m} à esquerda da seção): momento M_{w}= -W_a\cdot 0{,}75 = -52{,}5\cdot 0{,}75 = -39{,}375\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Somando:
M = 276 - 234 - 39{,}375 = 2{,}625\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Interpretação: o momento é positivo pequeno ( 2{,}625\\ \mathrm{kN\cdot m}), ou seja a seção está praticamente sem momento resistente, mas com valor ligeiramente que causa curvatura do tipo sagging conforme convenção usada.

Passo 9

Breve descrição (didática) dos diagramas:
  • Diagrama de força cortante V(x):
    • Salto negativo de 52\\ \mathrm{kN} em A (pela carga em A).
    • Entre A e B V é constante (sem carregamento distribuído nessa região).
    • Salto positivo de 184\\ \mathrm{kN} em B (reação em B).
    • Entre B e x=9\\ \mathrm{m} (região da UDL) V(x) diminui linearmente com declive -w (isto é, com inclinação -35\\ \mathrm{kN/m}).
    • Em x=9\\ \mathrm{m} existe salto zero na força cortante (momento concentrado não muda V), e depois segue até D onde há salto igual a V_D.
    • Em E existe salto negativo de 36\\ \mathrm{kN}.
  • Diagrama de momento M(x):
    • No trecho sem carregamento, M(x) varia linearmente.
    • Sob a UDL, M(x) varia quadraticamente (curva côncava) com segunda derivada igual a -w.
    • O momento concentrado 150\\ \mathrm{kN\cdot m} em x=9\\ \mathrm{m} provoca uma descontinuidade vertical no diagrama de momento: o valor do momento salta (subtrai-se 150\\ \mathrm{kN\cdot m} se o momento aplicado é horário).
    • As extremidades livres têm momentos compatíveis com as reações e carregamentos.

Resposta

V = 79{,}5\\ \mathrm{kN} (positiva, para cima)\n
M = 2{,}625\\ \mathrm{kN\cdot m} (positiva, sagging)

Exercícios relacionados