- Exercício II: Representar os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga dada. Adicionalmente:
(a) Determine V e M na viga em um ponto localizado a
à direita de B ;
(a) Determine V e M na viga em um ponto localizado a
Passo 1
O enunciado pede: representar os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga dada e, adicionalmente, determinar a força cortante
e o momento fletor
num ponto localizado a
à direita do apoio
.
Informações fornecidas (peguei os dados da imagem enviada):
- Há uma viga com apoio em
(pino) e em (rolamento), com um balanço à esquerda de (ponto ) e um balanço à direita de (ponto ). - Distâncias ao longo da viga (medidas a partir da extremidade esquerda
): -
até : . -
até o ponto de momento concentrado : (logo esse momento está a de ). - Do ponto do momento até
: (portanto a de ). -
até : (logo a de ).
-
- Cargas aplicadas (da esquerda para a direita):
- Carga concentrada para baixo de
em (em ). - Carga distribuída uniforme
atuando de até (comprimento ). - Momento concentrado
(sentido horário) em . - Apoio
em (rolamento) e carga concentrada para baixo de em (ponto ).
- Carga concentrada para baixo de
- Ponto de interesse: ponto localizado
à direita de , isto é, em medidos a partir de .
Passo 2
Estratégia para resolver (sem pular etapas): primeiro determinamos as reações verticais em
e
pela estática da viga inteira (equilíbrio de forças verticais e momentos). Depois fazemos uma seção na posição requerida (
à direita de
) e aplicamos equilíbrio do corpo à esquerda da seção para obter a força cortante
e o momento fletor
naquele ponto.
Lembrete teórico rápido (útil pra prova):
- Equilíbrio estático:
e . - A resultante de uma carga distribuída uniforme
sobre comprimento vale e atua no ponto médio do trecho (distância desde o início do trecho). - Para obter força cortante numa seção: some todas as forças verticais à esquerda (tomando sinal adequado).
- Para obter momento fletor numa seção: some os momentos das forças à esquerda em relação à seção (usar distâncias até a seção).
Passo 3
Calcular as cargas equivalentes e soma das forças verticais:
- Resultante da UDL
sobre : - Forças verticais para baixo totais aplicadas:
- Reações verticais
e devem satisfazer:
Passo 4
Equilíbrio de momentos (escolhemos somar momentos em torno de
para encontrar
). Tomamos convenção: momento positivo no sentido anti-horário. Considere os braços (distâncias horizontais) em relação a
:
- carga
em está a à esquerda de . - resultante da UDL
atua a à direita de (centro do trecho m adiante). - momento concentrado
em está a à direita de ; ele é aplicado no sentido horário (portanto, contribui como momento negativo). - carga
em está a à direita de . - reação
está a à direita de .
Escrevendo
(positiva anticlockwise):
Agora calculamos os termos:
-
. -
. -
.
Somando os termos negativos:.
Então:
Passo 5
Encontrar
usando
:
Agora temos as reações:
(para cima) e
(para cima).
Passo 6
Explicação didática sobre força cortante e momento na seção:
- Para obter a força cortante
em uma seção, podemos tomar o F.S. (free body) da parte da viga à esquerda da seção e somar as forças verticais (tomando positivas as forças para cima). Esse valor é a força cortante interna na seção (sinal positivo indica que a resultante é para cima na face esquerda). - Para obter o momento fletor
em uma seção, tomamos o F.S. da parte esquerda e somamos os momentos de todas as forças externas naquele trecho em relação à seção. Momentos que tendem a girar no sentido anti-horário tomam-se positivos (ou conforme a convenção adotada; aqui tomamos positivo o momento que causa concavidade para cima — sagging — e usamos a soma algébrica conforme mostrado).
No nosso caso a seção pedida está
à direita de
, ou seja em
de
. Vamos usar o corpo à esquerda da seção (contendo
e
e parte da UDL até a seção).
Passo 7
Forças presentes à esquerda da seção (até
):
- Carga concentrada em
: para baixo, distância até a seção: . - Reação em
: para cima, distância até a seção: . - Parte da UDL entre
e a seção: comprimento , resultante para baixo, atuando a à direita de (ou seja a à esquerda da seção).
Cálculo da força cortante
na seção (soma das forças verticais à esquerda, tomando positivo para cima):
Portanto a força cortante na seção é
para cima (sinal positivo conforme adotado).
Passo 8
Cálculo do momento fletor
na seção (somando momentos das forças à esquerda em relação à seção; tomamos momentos positivos anti-horário):
Contribuições:
- Reação em
(para cima) a da seção: momento (tende a girar anti-horário). - Carga em
(para baixo) a da seção: momento (tende a girar horário). - Resultante parcial da UDL
atuando a da seção (isto é, à esquerda da seção): momento .
Somando:
Interpretação: o momento é positivo pequeno (
), ou seja a seção está praticamente sem momento resistente, mas com valor ligeiramente que causa curvatura do tipo sagging conforme convenção usada.
Passo 9
Breve descrição (didática) dos diagramas:
- Diagrama de força cortante
: - Salto negativo de
em (pela carga em ). - Entre
e é constante (sem carregamento distribuído nessa região). - Salto positivo de
em (reação em ). - Entre
e (região da UDL) diminui linearmente com declive (isto é, com inclinação ). - Em
existe salto zero na força cortante (momento concentrado não muda ), e depois segue até onde há salto igual a . - Em
existe salto negativo de .
- Salto negativo de
- Diagrama de momento
: - No trecho sem carregamento,
varia linearmente. - Sob a UDL,
varia quadraticamente (curva côncava) com segunda derivada igual a . - O momento concentrado
em provoca uma descontinuidade vertical no diagrama de momento: o valor do momento salta (subtrai-se se o momento aplicado é horário). - As extremidades livres têm momentos compatíveis com as reações e carregamentos.
- No trecho sem carregamento,