- Exercício II: Representar os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga dada. Adicionalmente:
(b) Determine V e M na viga em um ponto localizado a
à esquerda de D .
(b) Determine V e M na viga em um ponto localizado a
Passo 1
O que a questão pede e quais dados temos (peguei esses dados da imagem enviada):\n
- Pedido: representar os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga (parte geral) e, adicionalmente, (b) determinar a força cortante
e o momento fletor na viga em um ponto localizado a à esquerda do apoio . Neste exercício vou resolver a parte (b) pedida: calcular e naquele ponto. \n - Dados que extraí da figura: a viga tem apoio em
(em medido desde ) e em (em ). Comprimento total da viga . Cargas: carga concentrada para baixo de em ( ); carga distribuída uniforme de intensidade ao longo do trecho de até (ou seja, comprimento ); um momento concentrado de aplicado em (seta na figura indicando sentido horário); e uma força concentrada para baixo de em ( ). Distâncias conforme a figura: em , em , ponto do momento em , em , em . \n - Ponto onde queremos
e : à esquerda de coordenada do ponto (ou ).\n
Observação: usei explicitamente as posições e intensidades conforme a imagem; se a figura fosse outra eu teria que adaptar, mas aqui vou proceder com os valores acima.
Passo 2
Plano de ataque e convenções (método e convenções que vou usar — importante para a prova)\n
- Vou usar as equações de equilíbrio da viga inteira para encontrar as reações verticais nos apoios
e , e então cortarei a viga à esquerda do ponto para calcular a força cortante e o momento internos nesse corte. Esse é o método padrão para obter e em um ponto: 1) equilíbrio global → reações; 2) equilíbrio do corpo esquerdo (ou direito) do corte → e .\n - Convenções adotadas (explique bem): tomo forças verticais positivas para cima; momentos positivos são no sentido anti-horário (CCW). Para escrever momentos de forças puntuais sobre um ponto
usarei a expressão algébrica (onde é positiva se para cima e negativa se para baixo). Cargas distribuídas serão substituídas pelo seu resultante (intensidade × comprimento) atuando em sua posição equivalente (centro geométrico do trecho). Momento concentrado tem sinal positivo se CCW e negativo se horário.
Passo 3
Calcular as cargas resultantes e suas posições (substituir a carga distribuída pelo resultante)\n
- Resultante da carga distribuída: intensidade
ao longo de resultante . Essa resultante atua no centro do trecho (distância ao apoio : ).\n - Lista de forças com coordenadas
(todas medidas desde , em ): \n - em (sinal negativo porque é para baixo)\n - (desconhecida, reação em ) em (vertical para cima positiva)\n - em (para baixo)\n - aplicado em (sinal negativo pois é horário segundo a figura)\n - (desconhecida, reação em ) em (para cima positiva)\n - em (para baixo)\n- Somatório vertical de forças (equilíbrio): . Vou usar isso depois.
Passo 4
Calcular as reações
e
usando equilíbrio de momentos e forças\n
- Primeiro escrevo o somatório das forças verticais (equilíbrio global):\n
\n - Agora tomo momentos sobre o ponto
(em ) para eliminar e determinar . Uso a fórmula algébrica de momento: somo para todas as forças e incluo momentos concentrados. Com convenção: forças para baixo têm sinal negativo. Assim:\n \n - Calculemos termo a termo:\n -
.\n - .\n - .\n - .\n - termo do momento concentrado é (já incluí o sinal porque é horário).\n- Substituindo:\n \n- Portanto:\n \n- Agora uso o equilíbrio vertical para obter :\n \nlogo\n
Passo 5
Interpretando os sinais e resumindo reações (importante antes de cortar)\n
- Achamos reações positivas (para cima):\n -
(aprox. )\n - (aprox. )\n- Essas reações são os valores que vou usar ao cortar a viga para obter e no ponto .
Passo 6
Cortar a viga em
e escrever equilíbrio do corpo à esquerda do corte (como fazer na prova)\n
- Escolha do corpo: uso a porção à esquerda do corte (contém
, , , e o momento concentrado em ). A reação e a carga ficam à direita do corte e não entram no equilíbrio do corpo esquerdo.\n- Força cortante interna : somatório de forças verticais sobre o corpo esquerdo deve ser zero; no corpo esquerdo aparece a força cortante interna aplicada no corte (na face direita do trecho esquerdo) que equilibrará as forças conhecidas. Tomando equilíbrio vertical (para cima positivo):\n \n- Substituindo :\n \n- Interpretação do sinal: (valor negativo com a convenção escolhida) significa que, se eu esperava o esforço cortante positivo para cima, de fato a força cortante atua para baixo naquele corte. Em módulo: .
Passo 7
Calcular o momento fletor
no corte (explicando detalhadamente como montar a soma de momentos)\n
- Para o equilíbrio de momentos do corpo esquerdo tomo momentos em relação ao próprio corte (ou seja, somo as contribuições das forças à esquerda com seus braços até
). Usando a convenção CCW positiva, o equilíbrio do corpo esquerdo dá (incluindo o momento interno no corte, que é reação do corpo direito sobre o esquerdo):\n \nEntão\n \nonde são as forças verticais conhecidas do corpo esquerdo (com sinal; recorde: forças para baixo são negativas). Vou listar e calcular cada termo com .\n\n- Termos (todos medidos desde ):\n 1) atuando em : contribuição \n 2) (para baixo) em : contribuição \n 3) Resultante em : contribuição \n 4) Momento concentrado em : este momento tem de ser somado diretamente como (já com sinal, negativo porque horário).\n\n- Somando os termos (faço a soma exata em frações para precisão): já transformando para denominador comum e somando, obtém-se\n \n(Se preferir ver as contas decimais: .)\n\n- Logo\n \n- Interpretação do sinal: com a convenção CCW positiva significa que o momento interno é no sentido horário (ou seja, o fletor produz rotação no sentido horário naquele ponto). Em módulo,
Passo 8
Recapitulação didática rápida (como lembrar na hora da prova)\n
- Passos práticos que apliquei e que você deve seguir na prova: (1) identificar claramente posições e substituir distribuídas por resultantes; (2) escrever
e para obter reações; (3) cortar à esquerda (ou direita) do ponto pedido; (4) aplicar para achar e para achar (lembrando de somar momentos concentrados com o sinal correto). Sempre preste atenção à convenção de sinais e calcule os braços (distâncias) corretamente. \n - Se ficar com dúvida sobre o sentido do momento concentrado, anote explicitamente que momento horário é negativo (na convenção CCW positiva) e trate assim nas somas.