• Exercício II: Representar os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga dada. Adicionalmente:
    (b) Determine V e M na viga em um ponto localizado a 1,25 \mathrm{~m} à esquerda de D .

Passo 1

O que a questão pede e quais dados temos (peguei esses dados da imagem enviada):\n
  • Pedido: representar os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga (parte geral) e, adicionalmente, (b) determinar a força cortante V e o momento fletor M na viga em um ponto localizado a 1,25\\ \mathrm{m} à esquerda do apoio D. Neste exercício vou resolver a parte (b) pedida: calcular V e M naquele ponto. \n
  • Dados que extraí da figura: a viga tem apoio em B (em x=3\\ \mathrm{m} medido desde A) e em D (em x=12\\ \mathrm{m}). Comprimento total da viga =15\\ \mathrm{m}. Cargas: carga concentrada para baixo de 52\\ \mathrm{kN} em A ( x=0); carga distribuída uniforme de intensidade 35\\ \mathrm{kN/m} ao longo do trecho de x=3 até x=9 (ou seja, comprimento 6\\ \mathrm{m}); um momento concentrado de 150\\ \mathrm{kN\cdot m} aplicado em x=9 (seta na figura indicando sentido horário); e uma força concentrada para baixo de 36\\ \mathrm{kN} em E ( x=15). Distâncias conforme a figura: A em x=0, B em x=3, ponto do momento em x=9, D em x=12, E em x=15. \n
  • Ponto onde queremos V e M: 1{,}25\\ \mathrm{m} à esquerda de D \Rightarrow coordenada do ponto x_c = 12 - 1{,}25 = 10{,}75\\ \mathrm{m} (ou 43/4\\ \mathrm{m}).\n
    Observação: usei explicitamente as posições e intensidades conforme a imagem; se a figura fosse outra eu teria que adaptar, mas aqui vou proceder com os valores acima.

Passo 2

Plano de ataque e convenções (método e convenções que vou usar — importante para a prova)\n
  • Vou usar as equações de equilíbrio da viga inteira para encontrar as reações verticais nos apoios B e D, e então cortarei a viga à esquerda do ponto x_c para calcular a força cortante e o momento internos nesse corte. Esse é o método padrão para obter V e M em um ponto: 1) equilíbrio global → reações; 2) equilíbrio do corpo esquerdo (ou direito) do corte → V e M.\n
  • Convenções adotadas (explique bem): tomo forças verticais positivas para cima; momentos positivos são no sentido anti-horário (CCW). Para escrever momentos de forças puntuais sobre um ponto x_p usarei a expressão algébrica F\cdot(x_i-x_p) (onde F é positiva se para cima e negativa se para baixo). Cargas distribuídas serão substituídas pelo seu resultante (intensidade × comprimento) atuando em sua posição equivalente (centro geométrico do trecho). Momento concentrado tem sinal positivo se CCW e negativo se horário.

Passo 3

Calcular as cargas resultantes e suas posições (substituir a carga distribuída pelo resultante)\n
  • Resultante da carga distribuída: intensidade w=35\\ \mathrm{kN/m} ao longo de 6\\ \mathrm{m} \Rightarrow resultante W = w\cdot 6 = 35\cdot 6 = 210\\ \mathrm{kN}. Essa resultante atua no centro do trecho x=(3+9)/2=6\\ \mathrm{m} (distância ao apoio B: 6-3=3\\ \mathrm{m}).\n
  • Lista de forças com coordenadas x (todas medidas desde A, x em \mathrm{m}): \n - F_{52} = -52\\ \mathrm{kN} em x=0 (sinal negativo porque é para baixo)\n - R_B (desconhecida, reação em B) em x=3 (vertical para cima positiva)\n - W = -210\\ \mathrm{kN} em x=6 (para baixo)\n - M_{150} = -150\\ \mathrm{kN\cdot m} aplicado em x=9 (sinal negativo pois é horário segundo a figura)\n - R_D (desconhecida, reação em D) em x=12 (para cima positiva)\n - F_{36} = -36\\ \mathrm{kN} em x=15 (para baixo)\n- Somatório vertical de forças (equilíbrio): \sum F_y = 0 \Rightarrow R_B + R_D - 52 -210 -36 = 0. Vou usar isso depois.

Passo 4

Calcular as reações R_B e R_D usando equilíbrio de momentos e forças\n
  • Primeiro escrevo o somatório das forças verticais (equilíbrio global):\n R_B + R_D - 52 - 210 - 36 = 0.\n
  • Agora tomo momentos sobre o ponto B (em x=3) para eliminar R_B e determinar R_D. Uso a fórmula algébrica de momento: somo F_i\cdot(x_i - x_B) para todas as forças e incluo momentos concentrados. Com convenção: forças para baixo têm sinal negativo. Assim:\n \sum M_{B}=0 \Rightarrow R_D\cdot(12-3) +(-52)\cdot(0-3) +(-210)\cdot(6-3) +(-36)\cdot(15-3) + (-150)=0.\n
  • Calculemos termo a termo:\n - R_D\cdot(12-3)=9R_D.\n - (-52)(0-3) = -52\cdot(-3)=+156\\ \mathrm{kN\cdot m}.\n - (-210)(6-3) = -210\cdot 3 = -630\\ \mathrm{kN\cdot m}.\n - (-36)(15-3) = -36\cdot 12 = -432\\ \mathrm{kN\cdot m}.\n - termo do momento concentrado é -150\\ \mathrm{kN\cdot m} (já incluí o sinal porque é horário).\n- Substituindo:\n 9R_D + 156 -630 -432 -150 = 0 \Rightarrow 9R_D -1056 = 0.\n- Portanto:\n R_D = \frac{1056}{9} = \frac{352}{3}\\ \mathrm{kN} \approx 117{,}333\\ \mathrm{kN}.\n- Agora uso o equilíbrio vertical para obter R_B:\n R_B + R_D = 52 +210 +36 = 298\\ \mathrm{kN},\nlogo\n R_B = 298 - R_D = 298 - \frac{352}{3} = \frac{894-352}{3} = \frac{542}{3}\\ \mathrm{kN} \approx 180{,}667\\ \mathrm{kN}.

Passo 5

Interpretando os sinais e resumindo reações (importante antes de cortar)\n
  • Achamos reações positivas (para cima):\n - \displaystyle R_B = \frac{542}{3}\\ \mathrm{kN} (aprox. 180{,}667\\ \mathrm{kN})\n - \displaystyle R_D = \frac{352}{3}\\ \mathrm{kN} (aprox. 117{,}333\\ \mathrm{kN})\n- Essas reações são os valores que vou usar ao cortar a viga para obter V e M no ponto x_c = 10{,}75\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cortar a viga em x_c = 10{,}75\\ \mathrm{m} e escrever equilíbrio do corpo à esquerda do corte (como fazer na prova)\n
  • Escolha do corpo: uso a porção à esquerda do corte (contém R_B, 52, W, e o momento concentrado 150 em x=9). A reação R_D e a carga 36 ficam à direita do corte e não entram no equilíbrio do corpo esquerdo.\n- Força cortante interna V: somatório de forças verticais sobre o corpo esquerdo deve ser zero; no corpo esquerdo aparece a força cortante interna V aplicada no corte (na face direita do trecho esquerdo) que equilibrará as forças conhecidas. Tomando equilíbrio vertical (para cima positivo):\n R_B + V -52 -210 = 0 \quad\Rightarrow\quad V = 52 +210 - R_B = 262 - R_B.\n- Substituindo R_B=\dfrac{542}{3}:\n V = 262 - \frac{542}{3} = \frac{786-542}{3} = -\frac{244}{3}\\ \mathrm{kN}.\n- Interpretação do sinal: V<0 (valor negativo com a convenção escolhida) significa que, se eu esperava o esforço cortante positivo para cima, de fato a força cortante atua para baixo naquele corte. Em módulo: |V|=\dfrac{244}{3}\approx 81{,}333\\ \mathrm{kN}.

Passo 7

Calcular o momento fletor M no corte (explicando detalhadamente como montar a soma de momentos)\n
  • Para o equilíbrio de momentos do corpo esquerdo tomo momentos em relação ao próprio corte (ou seja, somo as contribuições das forças à esquerda com seus braços até x_c). Usando a convenção CCW positiva, o equilíbrio do corpo esquerdo dá (incluindo o momento interno M no corte, que é reação do corpo direito sobre o esquerdo):\n M + \sum_i F_i\cdot(x_i - x_c) + \sum M_{\text{ext,left}} = 0.\nEntão\n M = -\Big(\sum_i F_i\cdot(x_i - x_c) + \sum M_{\text{ext,left}}\Big),\nonde F_i são as forças verticais conhecidas do corpo esquerdo (com sinal; recorde: forças para baixo são negativas). Vou listar e calcular cada termo com x_c=10{,}75\\ \mathrm{m}.\n\n- Termos (todos medidos desde A):\n 1) R_B = \dfrac{542}{3}\\ \mathrm{kN} atuando em x=3: contribuição R_B\cdot(3 - 10{,}75) = \dfrac{542}{3}\cdot(-7{,}75) = -\dfrac{542\cdot 31}{12} = -\dfrac{8401}{6}\\ \mathrm{kN\cdot m}.\n 2) 52\\ \mathrm{kN} (para baixo) em x=0: contribuição (-52)\cdot(0-10{,}75) = -52\cdot(-10{,}75)=+559\\ \mathrm{kN\cdot m}.\n 3) Resultante W=-210\\ \mathrm{kN} em x=6: contribuição (-210)\cdot(6-10{,}75) = -210\cdot(-4{,}75) = +997{,}5\\ \mathrm{kN\cdot m}.\n 4) Momento concentrado M_{150}=-150\\ \mathrm{kN\cdot m} em x=9: este momento tem de ser somado diretamente como -150\\ \mathrm{kN\cdot m} (já com sinal, negativo porque horário).\n\n- Somando os termos (faço a soma exata em frações para precisão): já transformando para denominador comum e somando, obtém-se\n \sum_i F_i\cdot(x_i-x_c) + \sum M_{\text{ext,left}} = \frac{19}{3}\\ \mathrm{kN\cdot m}.\n(Se preferir ver as contas decimais: -1400{,}1666\;+\;559\;+\;997{,}5\;-\;150 = 6{,}3333 = 19/3.)\n\n- Logo\n M = -\frac{19}{3}\\ \mathrm{kN\cdot m} \approx -6{,}333\\ \mathrm{kN\cdot m}.\n- Interpretação do sinal: M<0 com a convenção CCW positiva significa que o momento interno é no sentido horário (ou seja, o fletor produz rotação no sentido horário naquele ponto). Em módulo, |M| = \dfrac{19}{3}\\ \mathrm{kN\cdot m} \approx 6{,}333\\ \mathrm{kN\cdot m}.

Passo 8

Recapitulação didática rápida (como lembrar na hora da prova)\n
  • Passos práticos que apliquei e que você deve seguir na prova: (1) identificar claramente posições e substituir distribuídas por resultantes; (2) escrever \sum F_y=0 e \sum M=0 para obter reações; (3) cortar à esquerda (ou direita) do ponto pedido; (4) aplicar \sum F_y=0 para achar V e \sum M_{\text{about cut}}=0 para achar M (lembrando de somar momentos concentrados com o sinal correto). Sempre preste atenção à convenção de sinais e calcule os braços (distâncias) corretamente. \n
  • Se ficar com dúvida sobre o sentido do momento concentrado, anote explicitamente que momento horário é negativo (na convenção CCW positiva) e trate assim nas somas.

Resposta

V = -\frac{244}{3}\\ \mathrm{kN}\approx -81{,}333\\ \mathrm{kN}
M = -\frac{19}{3}\\ \mathrm{kN\cdot m}\approx -6{,}333\\ \mathrm{kN\cdot m}

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