Exercício 3. Indique a solução geral das seguintes equações:
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-pi^2) y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^2y'' + x,y' + l(x^2-pi^2r)y = 0,
que é um caso da equação de Bessel de segunda ordem. O conteúdo da matéria é justamente reconhecer essa forma canônica e usar o fato de que suas soluções conhecidas são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie.

Passo 2

A forma padrão da equação de Bessel de ordem nu é
x^2y'' + x,y' + l(x^2-nu^2r)y = 0
Comparando com o enunciado, vemos que nu = pi.

Passo 3

Pela teoria, quando nu não é inteiro, um par fundamental de soluções independentes é dado por
Jnu(x) e Ynu(x),
isto é, as funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem nu. No nosso caso usamos nu=pi.

Resposta

y(x) = C1,Jpi(x) ;+; C2,Ypi(x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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