Exercício 3. Indique a solução geral das seguintes equações:
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-125) y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação de segunda ordem com coeficientes não constantes
x^2y'' + x,y' + l(x^2 - tfrac125r)y = 0
Este tipo de equação pertence à família das equações de Bessel de ordem nu. Para resolver, vamos reconhecer a forma padrão e usar a solução geral conhecida em termos das funções de Bessel.

Passo 2

A forma padrão da equação de Bessel de ordem nu é
x^2y'' + x,y' + l(x^2 - nu^2r)y = 0
Comparando com o nosso coeficiente, temos
nu^2 = tfrac125 Longrightarrow nu = tfrac15

Passo 3

A solução geral de
x^2y'' + x,y' + l(x^2 - nu^2r)y = 0
é
y(x) = A,Jnu(x) + B,Ynu(x),
onde Jnu e Ynu são, respectivamente, as funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem nu. Substituindo nu = tfrac15, obtemos a solução geral da equação dada:

Resposta

y(x) = C1,Jtfrac15(x) + C2,Ytfrac15(x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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